教育局有权管辖老师指使诬陷学生的行为。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 教育局的管辖范围

1. 教育行政管理职责：教育局作为教育行政管理部门，负责辖区内学校的教育教学管理工作，包括对教师行为的监督和规范。
2. 教师行为规范：教师作为教育工作者，应当遵守职业道德和法律法规，不得有损害学生权益的行为。教育局有责任对教师的不当行为进行查处。

二. 老师指使诬陷学生的性质

1. 违法行为：老师指使诬陷学生，属于捏造事实诬告陷害他人，可能构成违法行为。
2. 损害学生权益：这种行为不仅损害了学生的名誉权，还可能对学生的心理健康造成严重影响，属于严重违反教师职业道德的行为。

三. 教育局的应对措施

1. 调查处理：教育局在接到相关举报或投诉后，应当立即展开调查，核实事实真相。
2. 依法处理：如果调查发现老师确实存在指使诬陷学生的行为，教育局应当依据相关法律法规和教师管理规定，对涉事老师进行严肃处理，包括但不限于警告、记过、降职、解聘等。
3. 保护学生权益：教育局在处理过程中，应当充分保护学生的合法权益，确保学生不受进一步伤害，并对学生进行必要的心理疏导和支持。

综上所述，教育局有权且应当管辖老师指使诬陷学生的行为。这种行为不仅违反了教师职业道德，还可能触犯法律，教育局应当依法进行调查处理，保护学生的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。