结论是：即使对方不构成故意伤害罪，您依然有权要求对方赔偿医疗费等相关费用。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、民事赔偿的法律依据
在互殴事件中，即使对方的行为不构成故意伤害罪，但根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。这意味着，如果对方在互殴过程中导致了您的轻伤一级，那么对方就需要承担相应的民事赔偿责任。
二、民事赔偿的范围
民事赔偿的范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。具体到您的案例，医疗费是其中重要的一项。您有权要求对方赔偿您因治疗轻伤一级而产生的所有合理医疗费用。
三、赔偿的解决途径
协商解决：
- 双方可以优先尝试通过协商来解决赔偿问题。如果能够达成一致，可以签订赔偿协议，明确赔偿金额和支付方式等细节。这种方式相对快捷且成本较低，有助于双方和平解决纠纷。
法律途径：
- 如果协商无果，您可以向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿您的损失。在诉讼过程中，法院会根据双方提供的证据和法律规定来判定赔偿金额。如果法院认定对方确实存在过错并导致了您的损害，那么对方就需要按照法院的判决来承担赔偿责任。
四、对方不构成故意伤害罪的影响
- 对方不构成故意伤害罪，并不意味着对方不需要承担任何责任。在民事法律关系中，只要对方的行为导致了您的损害，并且存在过错，那么对方就需要承担相应的民事赔偿责任。刑事责任的免除并不影响民事责任的承担。
五、建议与注意事项
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，保留好所有与医疗费用相关的票据和证明是非常重要的。这些证据将有助于您在协商或诉讼过程中证明自己的损失和要求赔偿的合理性。
及时咨询：
- 如果您在处理此类纠纷时遇到任何困难或疑问，建议及时咨询专业律师。律师可以根据您的具体情况提供法律建议和帮助，确保您的权益得到充分保障。
理性处理：
- 在处理互殴事件引发的赔偿纠纷时，保持理性和冷静是非常重要的。避免采取过激行为或言语攻击对方，以免加剧矛盾并影响纠纷的解决。
综上所述，即使对方不构成故意伤害罪，您依然有权要求对方赔偿医疗费等相关费用。您可以通过协商或法律途径来维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。