若收银员私自收钱的行为已被证实，且给客户造成了实际损失，赔偿方式需根据具体情况确定，一般包括直接损失赔偿和可能的间接损失赔偿。以下从不同角度为您详细分析：

1. 直接损失赔偿：

   • 如果收银员私自收取的款项直接导致了客户的财产损失（例如，客户支付了商品款项但未获得商品，或支付了超出商品实际价格的款项），那么收银员或其雇主（如商家）应当赔偿客户因此遭受的直接经济损失。
   • 赔偿金额通常等于客户因收银员行为而多支付的金额，或因未获得商品而应得的退款金额。

2. 间接损失赔偿：

   • 在某些情况下，客户可能因收银员的行为而遭受间接损失，如因错过其他交易机会而产生的损失，或因处理此事而产生的额外费用（如交通费、时间成本等）。
   • 间接损失的赔偿通常较为复杂，需要具体分析损失与收银员行为之间的因果关系，以及损失是否合理可预见。在一般情况下，间接损失的赔偿可能较为有限，除非能够证明这些损失是收银员行为直接且必然的结果。

3. 赔偿主体：

   • 如果收银员是在执行工作任务时私自收钱，那么根据《民法典》中关于雇主责任的规定，商家（雇主）可能需要承担赔偿责任。之后，商家可以向有故意或重大过失的收银员追偿。
   • 如果收银员的行为超出其工作职责范围，且商家能够证明已尽到合理的管理和监督义务，那么商家可能不承担赔偿责任，赔偿责任应由收银员个人承担。

4. 赔偿程序：

   • 客户应首先尝试与商家或收银员协商解决赔偿问题。如果协商无果，客户可以向消费者协会或相关监管部门投诉，寻求调解或行政处理。
   • 如果调解或行政处理无法解决问题，客户还可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起民事诉讼，要求赔偿损失。

建议您：在处理此类问题时，务必保留好相关证据（如支付凭证、商品购买记录、与商家或收银员的沟通记录等），以便在需要时证明自己的损失和主张赔偿。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。