若无法证明给私人干活时手指割断的具体情况，您依然可以通过以下途径来争取合理的赔偿：

一、明确法律关系是关键

1. 证明雇佣关系：

   • 尽管没有书面合同，但您可以通过其他方式来证明与雇主之间的雇佣关系。例如，寻找熟悉情况的证人出具证言，详细说明您在雇主处工作的具体情形，如工作时间、工作内容等。
   • 保留好工作记录，如考勤记录、工作安排的相关文件或聊天记录等，这些都能作为证明雇佣关系存在的有力证据。

2. 法律关系认定：

   • 根据《民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系时，若提供劳务一方因劳务受到损害，应根据双方各自的过错来承担相应责任。因此，明确您与雇主之间是劳务关系而非承揽关系至关重要。

二、赔偿范围及计算

1. 赔偿范围：

   • 赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费以及必要的营养费等。
   • 若经专业鉴定构成伤残，除上述费用外，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费以及被扶养人生活费等。

2. 赔偿金额计算：

   • 医疗费依据医疗机构出具的收款凭证，结合病历、诊断证明等确定。
   • 误工费根据误工时间和收入状况确定。误工时间由治疗机构证明，有固定收入的按实际减少的收入计算，无固定收入的按近三年平均收入计算，无法举证的则参照当地同行业平均工资。
   • 残疾赔偿金根据伤残等级和当地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准计算。

三、解决纠纷的途径

1. 协商：

   • 在明确法律关系和赔偿范围后，您可以先尝试与雇主进行协商，明确提出您的赔偿要求，如医疗费、误工费、残疾赔偿金等。

2. 诉讼：

   • 若协商不成，您可以向法院提起诉讼，借助法律途径来妥善解决纠纷。
   • 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持您的赔偿请求，如医疗诊断证明、工资支付记录、证人证言等。

四、特别提醒

• 证据留存：在整个过程中，务必留存好所有与案件相关的证据，包括医疗凭证、工资发放记录、工作记录、证人证言等。这些证据将在协商和诉讼过程中发挥至关重要的作用。
• 法律程序：遵循法律程序进行协商和诉讼，确保您的权益得到合法保护。不要采取过激行为或违反法律程序的方式来解决纠纷。

行动建议：

1. 立即收集并整理所有与案件相关的证据。
2. 尝试与雇主进行协商，明确提出您的赔偿要求。
3. 若协商不成，及时向法院提起诉讼，并准备好所有必要的证据材料。

在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和支持。