针对您提出的“邻居长期排放恶臭，哪个部门有执法权”的问题，结论前置如下：
- 环保部门具有主要的执法权。当邻居长期排放恶臭，且这种排放可能对环境造成污染时，环保部门是首要的执法机构。他们有权对污染源进行调查，并根据相关法律法规对违规排放行为进行处罚。
详细分析如下：
环保部门执法权
- 法律依据：根据《中华人民共和国环境保护法》及相关地方性环保法规，环保部门负责监管环境污染行为，包括但不限于大气污染、水污染、噪声污染等。邻居长期排放恶臭，若该恶臭来源于生活污水、垃圾堆积或其他可能污染环境的物质，则属于环保部门的监管范畴。
- 执法措施：环保部门有权对污染源进行现场检查，要求污染者停止违法行为，并可以处以罚款、责令整改等行政处罚。在严重情况下，环保部门还可以将案件移送公安机关，追究相关责任人的刑事责任。
其他相关部门可能涉及的执法权
- 城市管理部门：如果邻居的排放行为同时违反了城市管理规定，如乱倒垃圾、乱排污水等，城市管理部门也有权进行执法。他们可能会根据《城市市容和环境卫生管理条例》等相关规定，对违规行为进行处罚。
- 卫生部门：在极端情况下，如果邻居的排放行为导致了公共卫生问题，如疾病传播等，卫生部门也可能介入调查并采取相应的防控措施。但这种情况相对较少见，且通常是在环保部门已经介入但问题仍未得到解决的情况下。
您的应对措施
- 收集证据：首先，您应该收集邻居排放恶臭的证据，如照片、视频、气味描述等。这些证据将有助于环保部门或其他相关部门进行调查。
- 向相关部门投诉：根据收集到的证据，您可以向当地的环保部门、城市管理部门或卫生部门进行投诉。在投诉时，请详细描述问题的情况，并提供相关证据。
- 寻求法律援助：如果问题仍未得到解决，您可以考虑寻求法律援助。作为一名专业律师，我可以在您需要时提供法律咨询和代理服务，帮助您维护自己的合法权益。
最后，我想强调的是，面对邻居长期排放恶臭的问题，您不应该选择沉默或忍受。通过合法途径维护自己的权益是每个公民的权利和责任。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。