在逃逸拘留的情况下，对方（即执法机关）会出具《拘留通知书》给被拘留人的家属或单位。以下是对此问题的详细分析：
一、拘留通知书的出具
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条的规定，公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。
通知书内容：
- 《拘留通知书》通常会载明被拘留人的姓名、涉嫌的罪名、拘留的时间、地点以及执行拘留的机关等信息。这是家属了解被拘留人情况的重要依据。
二、逃逸拘留的特殊性
逃逸行为的性质：
- 逃逸行为通常指的是在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。这种行为可能构成交通肇事逃逸罪，如果逃逸行为导致人员死亡，还可能构成更严重的犯罪。
拘留的适用：
- 对于逃逸行为，如果情节严重，公安机关有权依法对逃逸者进行拘留。拘留是一种强制措施，旨在保障诉讼的顺利进行和防止逃逸者继续危害社会。
三、家属的权益与注意事项
家属的权益：
- 家属有权知道被拘留人的情况，包括被拘留的原因、时间、地点等。执法机关有义务在规定时间内通知家属，并出具《拘留通知书》。
注意事项：
- 家属在收到《拘留通知书》后，应仔细核对通知书上的信息，确保被拘留人的身份和涉嫌的罪名准确无误。
- 如果家属对拘留有异议，可以依法向执法机关提出申诉或申请复议。
- 家属应积极配合执法机关的工作，为被拘留人提供必要的法律帮助和支持。
四、法律建议
及时咨询律师：
- 如果家属对逃逸拘留的法律程序或被拘留人的权益有疑问，应及时咨询专业律师。律师可以提供法律咨询和代理服务，帮助家属维护被拘留人的合法权益。
保留相关证据：
- 家属应保留与被拘留人相关的所有证据，包括通话记录、短信、邮件等。这些证据可能在后续的法律程序中发挥重要作用。
遵守法律程序：
- 家属应遵守法律程序，不得干扰执法机关的正常工作。同时，应积极配合执法机关的调查和取证工作，为被拘留人争取从轻处理的机会。
如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业、全面的法律服务。