当公寓承租户的合同到期却不愿搬走时，作为房东，您可以按照以下步骤和法律途径来妥善处理这一问题：
一、友好沟通与协商
提前提醒：在租赁合同到期前的一段时间（比如1-2周），您可以通过书面形式或口头方式提醒承租户合同即将到期，并询问其是否有续租的意向。
了解原因：如果承租户没有按时搬离，您应该主动与其沟通，了解其不搬走的具体原因。对于承租户可能遇到的特殊困难，如搬家困难、临时找不到新住处等，您可以在双方自愿的基础上，协商给予一定的宽限期，并签订书面的补充协议，明确宽限期限以及在此期间的租金计算方式。
二、发送书面通知
正式通知：如果协商没有结果，您需要向承租户发送一份正式的书面搬离通知。通知中应明确包括合同到期的情况、要求承租户限期搬离（比如3-7天）以及逾期不搬的后果（如承担违约责任、支付逾期占用费等）。
送达证明：为了确保通知的有效送达，您可以通过邮政特快专递（EMS）等方式寄送通知，并在快递单上注明文件名称。同时，保留好快递底单和查询记录，作为通知已经送达的证据。
三、寻求第三方调解
基层调解组织：如果书面通知后承租户仍然没有搬离，您可以向当地的居委会、村委会或者人民调解委员会等基层调解组织寻求帮助。这些组织通常具有丰富的调解经验，可能能够促使双方达成一个解决方案。
房屋租赁管理部门：在一些地区，设有专门的房屋租赁管理部门。您可以向这些部门反映情况，并请求他们协助进行调解。
四、采取法律手段
发送律师函：如果调解仍然没有效果，您可以考虑委托律师向承租户发送一份律师函。律师函具有法律效力，能够起到一定的威慑作用，并表明您通过法律途径解决问题的决心。律师函中应明确指出承租户的违约行为、搬离期限以及法律后果。
提起诉讼：如果承租户在收到律师函后仍然拒不搬离，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供租赁合同、书面通知、律师函、房屋现状的照片或视频等证据，以证明租赁关系已经到期以及承租户逾期不搬的事实。您的诉讼请求可以包括要求承租户立即搬离、支付逾期占用费、承担违约责任以及赔偿损失等。
强制执行：如果法院最终判决您胜诉，但承租户仍然不履行搬离义务，您可以在规定的期限届满后向法院申请强制执行。法院将依法采取强制措施，强制承租户搬离，并可能追讨相关的费用。
五、注意事项
在整个处理过程中，您应该保持冷静和理性，避免与承租户发生不必要的冲突。同时，确保您的所有行为都符合法律法规的要求，以免给自己带来法律风险。此外，保留好所有相关的证据和文件，以备后续可能的法律程序之需。
通过以上步骤和法律途径，您可以有效地应对公寓承租户合同到期不愿搬走的问题，维护自己的合法权益。