核心结论：打伤人后对方半个月在医院死亡，法律判决需结合死亡原因、因果关系、行为人主观过错等多方面因素综合判定，可能涉及故意伤害罪、过失致人死亡罪或无罪（意外事件）三种情形，具体如下：

1. 若死亡与伤害行为存在直接因果关系，且行为人主观上存在故意

根据《刑法》第234条，若行为人主观上具有伤害故意（如意图使对方身体受到疼痛或损伤），且客观上实施了伤害行为（如拳打脚踢、使用工具击打等），最终导致对方死亡（即使死亡发生在半个月后），则可能构成故意伤害罪（致人死亡）。

• 量刑标准：处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
  
• 关键点：需证明死亡结果与伤害行为之间存在直接因果关系（如法医鉴定确认死亡系伤害行为引发的并发症，如内脏损伤、颅内出血等），且行为人对死亡结果存在过失（如未及时救助）。

2. 若死亡与伤害行为存在间接因果关系，且行为人主观上存在过失

若行为人主观上无伤害故意（如仅因冲突推搡、拉扯），但应当预见自己的行为可能导致对方受伤甚至死亡（如对方年老体弱、患有基础疾病），却因疏忽大意或过于自信未预见，最终导致对方死亡，则可能构成过失致人死亡罪。

• 量刑标准：处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑。
  
• 关键点：需证明行为人存在过失（如未控制冲突力度、未及时送医），且死亡结果与行为之间存在间接因果关系（如法医鉴定确认死亡系伤害行为诱发的基础疾病恶化）。

3. 若死亡与伤害行为无直接因果关系，或行为人主观上无过错

若法医鉴定确认死亡系其他原因导致（如自杀、疾病突发、医疗事故等），与伤害行为无直接或间接因果关系，或行为人主观上无故意、过失（如正当防卫、意外事件），则可能不构成犯罪。

• 无罪情形：
  
  • 意外事件：行为人无法预见伤害行为会导致死亡（如轻微推搡后对方因特殊体质死亡）。
    
  • 正当防卫：防卫行为未明显超过必要限度，且与不法侵害相适应。
    
• 关键点：需通过法医鉴定、现场证据等排除伤害行为与死亡的关联性。

补充说明：司法实践中的考量因素

1. 因果关系认定：法院会委托法医进行死亡原因鉴定，明确伤害行为与死亡结果的时间关联性、病理关联性（如是否因伤害引发感染、血栓等）。
   
2. 行为人主观状态：通过证人证言、行为人陈述、现场监控等还原冲突过程，判断是否存在故意或过失。
   
3. 量刑情节：若行为人积极赔偿、取得谅解，或存在自首、立功等情节，可能从轻或减轻处罚。

建议：若涉及此类案件，需立即固定证据（如现场监控、证人联系方式、医疗记录），并委托专业律师介入，通过刑事辩护或刑事和解程序维护权益。如有具体问题，可直接向我咨询。