结论是：在老公涉嫌行贿犯罪被留置后，若第一次申请解除留置未获批准，是否可以申请第二次，需视具体情况而定，但法律上并未禁止第二次申请。以下从不同角度为您详细分析：
一、留置措施的法律性质与申请解除的依据
留置是监察机关在调查职务违法和职务犯罪时，对涉嫌严重职务违法或职务犯罪的被调查人采取的限制人身自由的强制措施。根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，留置时间一般不得超过三个月，特殊情况下可延长一次，延长时间不得超过三个月。在留置期间，被留置人员及其家属有权申请解除留置措施。
二、第一次申请未批准后的处理
分析未批准原因：
- 若第一次申请未获批准，首先应了解未批准的具体原因。可能是证据不足、案件性质严重、存在逃跑或串供风险等。
- 针对未批准的原因，可以准备更充分的证据或理由，以支持第二次申请。
准备第二次申请：
- 在了解未批准原因后，可以针对性地准备第二次申请材料。例如，提供新的证据证明被留置人员无逃跑或串供风险，或者证明其身体状况不适合继续留置等。
- 第二次申请应明确、具体地阐述解除留置的理由和依据，以提高申请的成功率。
三、第二次申请的法律可能性与注意事项
法律可能性：
- 法律上并未禁止在第一次申请未获批准后提出第二次申请。只要存在合理的理由和依据，且符合法律规定的条件，就可以再次申请。
注意事项：
- 及时性：在留置期间内，应尽快提出第二次申请，以免错过最佳时机。
- 证据充分性：第二次申请应提供更充分、更有力的证据来支持解除留置的请求。
- 法律程序合规性：确保第二次申请符合法律规定的程序和要求，避免因程序瑕疵而导致申请被驳回。
四、其他可能的法律途径
若第二次申请仍未获批准，还可以考虑以下法律途径：
申请复议或申诉：
- 根据《中华人民共和国监察法》的相关规定，被留置人员及其家属对留置措施有异议的，可以依法申请复议或申诉。
寻求法律援助：
- 若对法律程序不熟悉或认为自身权益受到侵害，可以寻求专业律师的法律援助，以维护自身合法权益。
建议：在处理此类法律问题时，务必保持冷静和理性，遵循法律程序和要求。若您或您的家人面临此类情况，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。