关于工厂开除员工的赔偿问题，这确实是一个涉及法律条款和具体情境的复杂议题。我将根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，结合不同情形，为您详细解析赔偿的确定方式。
一、无需支付赔偿的情形
首先，如果员工存在以下过错行为，工厂依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同的，是无需支付任何赔偿的：
- 试用期间不符合录用条件：这要求工厂有明确的录用标准，并能提供员工未达到标准的具体证据。
- 严重违反规章制度：工厂的规章制度必须合法制定并已公示，员工的行为需确实构成严重违反。
- 严重失职、营私舞弊：给工厂造成重大损害，损害程度需有明确界定。
- 双重劳动关系影响工作：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本厂工作任务造成严重影响。
- 劳动合同无效：因员工欺诈、胁迫等手段使工厂在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同。
- 被依法追究刑事责任：员工因犯罪被人民法院判处刑罚。
二、需支付经济补偿的情形
在以下情形下，工厂需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同，并向员工支付经济补偿：
- 患病或非因工负伤：员工在规定的医疗期满后不能从事原工作或工厂另行安排的工作。
- 不能胜任工作：经过培训或调整工作岗位后，员工仍不能胜任工作。
- 客观情况发生重大变化：如工厂搬迁、被兼并等，导致劳动合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。
- 经济性裁员：符合《劳动合同法》第四十一条规定的情形。
经济补偿的计算方法：
- 员工每工作一年，工厂需支付一个月工资作为补偿。
- 工作年限不满六个月的，按半个月工资计算。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于当地月平均工资三倍，经济补偿金按当地月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
三、违法解除需支付赔偿金的情形
如果工厂违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故辞退员工或在员工处于特殊保护期间（如孕期、产期、哺乳期）解除劳动合同，工厂应依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
举例说明
假设员工月工资为5000元，在单位工作3年：
- 若正常解除合同，经济补偿为3年×5000元/年=15000元。
- 若违法解除，则需支付赔偿金为15000元×2=30000元。
结论与建议
处理工厂开除员工的赔偿问题时，关键在于明确开除原因，并依法确定是否需要支付赔偿及赔偿金额。工厂应严格遵守《劳动合同法》的相关规定，确保在解除劳动合同时做到合法、合规。同时，员工也应了解自己的权益，如认为工厂存在违法解除行为，可通过劳动仲裁或诉讼等途径依法维护自己的合法权益。
希望以上解析能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时告知。