公职人员肇事逃逸没有拘留是否会被开除，主要取决于其行为是否构成犯罪以及是否被判处刑罚。以下是对此问题的详细分析：
一、构成犯罪并被判处刑罚的情况
法律依据：
- 根据《行政机关公务员处分条例》第十七条，行政机关公务员依法被判处刑罚的，给予开除处分。
- 《中华人民共和国公职人员政务处分法》第十四条也明确规定了公职人员因犯罪被判处特定刑罚时应予开除的情形，如因故意犯罪被判处管制、拘役或者有期徒刑以上刑罚（含宣告缓刑）的，或者因过失犯罪被判处有期徒刑，刑期超过三年的等。
结论：
- 若公职人员肇事逃逸构成犯罪，并被人民法院依法判处刑罚（如有期徒刑、拘役等），则根据相关法律法规，该公职人员将面临被开除公职的处分。拘留本身不是开除的直接依据，关键在于是否构成犯罪并被判处刑罚。
二、未构成犯罪或未被判处刑罚的情况
法律责任：
- 若公职人员肇事逃逸未构成犯罪，或者虽然构成犯罪但未被人民法院判处刑罚（如被判处缓刑、免于刑事处罚等），则其法律责任将依据其他相关规定进行处理。
单位处分：
- 在这种情况下，公职人员所在单位可能会根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十一条等规定，对其进行警告、记过、记大过、降级、撤职等党纪政纪处分。开除公职作为一种最严厉的处分措施，通常不会轻易采取，除非公职人员的行为严重违反了单位规定或法律法规。
其他影响：
- 无论是否构成犯罪，公职人员肇事逃逸都将面临行政处罚，如吊销机动车驾驶证、罚款等。虽然未提及拘留，但此类行为会严重损害公职人员的形象和声誉，进而影响其在职场中的发展和晋升。
三、综合分析与建议
- 遵守交通法规：公职人员应严格遵守交通法规，避免发生任何违法行为，尤其是交通肇事逃逸这种严重违法行为。
- 综合判断：在处理公职人员肇事逃逸问题时，应综合考虑其行为性质、后果及单位规定等多个因素，确保处分的公正性和合理性。
- 维护形象：对于公职人员而言，维护良好的个人形象和声誉至关重要，因此应时刻警惕自己的行为可能带来的法律后果和职业影响。
若您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律解答。