业主无权直接砍掉烂根的大树，需根据具体情况并遵循法定程序处理。以下从不同角度为您详细分析：
一、大树的权属问题
若大树属于业主个人所有：
- 业主对自家树木享有所有权，但这并不意味着可以随意砍伐。根据《城市绿化条例》等相关规定，即使树木属于业主个人，砍伐前也需向城市绿化行政主管部门申请砍伐许可证。未经许可擅自砍伐，可能面临罚款等行政处罚。
若大树属于公共区域或物业所有：
- 业主更无权擅自砍伐。公共区域的树木属于全体业主共有，或由物业负责管理。砍伐前需经过业主大会或物业的同意，并按照相关规定办理砍伐手续。
二、大树烂根的处理方式
评估树木状况：
- 业主应首先联系专业的园林机构或树木专家，对大树的状况进行评估。如果树木只是部分烂根，但整体仍具有生长潜力，可能通过修剪、施肥等措施进行救治，而非直接砍伐。
申请砍伐许可：
- 如果树木确实已经死亡或存在严重安全隐患，无法通过救治恢复，业主需向城市绿化行政主管部门提交砍伐申请。申请时需提供树木的照片、位置、权属证明以及砍伐的理由等材料。
遵循砍伐程序：
- 获得砍伐许可后，业主需按照许可的要求进行砍伐。砍伐过程中需注意安全，避免对周围环境或人员造成损害。砍伐后还需及时清理现场，恢复绿化。
三、法律后果
未经许可擅自砍伐：
- 如果业主未经许可擅自砍伐树木，可能面临城市绿化行政主管部门的行政处罚，包括罚款、责令补种等。
造成他人损害：
- 如果砍伐过程中造成他人人身或财产损害，业主还需承担相应的民事赔偿责任。
四、建议与措施
及时沟通：
- 业主在发现大树烂根后，应及时与物业或业主委员会沟通，共同商讨处理方案。
遵循法定程序：
- 无论树木权属如何，业主都应遵循法定程序进行砍伐申请和处理，避免因擅自行动而引发法律纠纷。
寻求专业帮助：
- 在处理大树烂根问题时，业主可寻求专业园林机构或树木专家的帮助，确保处理方案的科学性和合理性。
如有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。