结论：吵架当中不小心摔倒把对方肋骨砸断，是否需要承担法律责任，需结合具体情况判断，可能涉及民事赔偿，若存在故意或重大过失，还可能承担刑事责任。以下从不同角度进行分析：
一、民事责任角度
一般情况下的民事责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在吵架过程中，如果不小心摔倒并导致对方肋骨断裂，这通常被视为一种过失行为。如果这种过失行为与对方的损害结果之间存在因果关系，那么行为人可能需要承担相应的民事赔偿责任。
- 赔偿范围：通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还可能包括辅助器具费和残疾赔偿金。
特殊情况下的民事责任减免：
- 如果能够证明对方也存在过错（如对方先动手或存在挑衅行为），并且这种过错与损害结果的发生有一定的关系，那么根据过错相抵原则，行为人的民事责任可能会得到一定程度的减免。
二、刑事责任角度
故意伤害的情况：
- 如果在吵架过程中，行为人存在故意伤害对方的意图，并且实施了相应的行为导致对方肋骨断裂，那么这可能构成故意伤害罪。根据伤害的严重程度，行为人可能需要承担相应的刑事责任，包括有期徒刑、拘役或管制等。
过失致人重伤的情况：
- 如果行为人没有故意伤害的意图，但由于过于自信或疏忽大意而导致对方肋骨断裂，并且这种伤害达到了重伤的程度，那么这可能构成过失致人重伤罪。在这种情况下，行为人也可能需要承担一定的刑事责任。
刑事责任的免除：
- 如果行为人的过失行为并未达到犯罪的程度，或者存在其他免除刑事责任的情形（如对方自愿放弃追究刑事责任等），那么行为人可能不需要承担刑事责任。
三、建议与措施
及时就医并保留证据：
- 无论是否需要承担法律责任，都应首先确保对方得到及时的治疗。同时，保留好相关的医疗记录和费用单据，以便在后续的法律程序中作为证据使用。
积极沟通并协商解决：
- 在可能的情况下，与对方进行积极的沟通，尝试通过协商的方式解决纠纷。这不仅可以减少法律程序的繁琐和成本，还有助于维护双方的关系。
寻求法律帮助：
- 如果无法通过协商解决纠纷，或者对方提出了不合理的赔偿要求，那么应及时寻求法律帮助。可以咨询专业的律师，了解自己的权利和义务，以及可能面临的法律责任和后果。
在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。