可以申请检察机关监督。在刑事案件中，若公安局决定不予立案，并且复核程序延期一个月，这并不影响你向检察机关申请监督的权利。以下是对此问题的详细分析：
一、复议复核与申请监督的并行性
复议复核流程：
- 控告人对公安机关作出的不予立案决定不服时，可在收到不予立案通知书后七日内，向作出决定的公安机关提出复议申请。
- 公安机关应在三十日内作出复议决定，并送达控告人。
- 若控告人对复议决定仍不满意，可在收到复议决定书后七日内，向上一级公安机关申请复核。
- 上一级公安机关同样需在三十日内作出复核决定。
申请监督的独立性：
- 法律并未禁止在申请复议、复核的同时向检察院提出立案监督申请。
- 实际上，复议复核与申请监督是两种并行的救济途径，旨在从不同角度保障当事人的合法权益。
二、申请检察机关监督的法律依据与操作
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十三条：“人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。”
操作流程：
- 控告人在复议、复核后仍对结果不满，可向同级或上一级人民检察院提出立案监督申请。
- 人民检察院将受理并审查案件，判断公安机关的不立案理由是否成立。
- 如认为不立案理由不能成立，人民检察院应通知公安机关立案，公安机关必须执行。
三、申请监督的重要性与建议
重要性：
- 申请检察机关监督是当事人维护自身合法权益、确保刑事诉讼依法公正进行的重要救济途径。
- 通过有效的监督机制，可以促使公安机关依法行使职权，纠正不当决定，保障当事人的诉讼权利。
建议：
- 当事人在遇到此类情况时，应及时咨询专业律师（如我），了解具体操作流程和法律依据。
- 提供充分的证据材料以支持自己的主张，并积极配合检察机关的调查工作。
总结来说，对于刑事不立案的案件，在经过复议、复核程序后，你仍有权向检察机关申请监督。这是确保案件公正处理、维护自身合法权益的重要途径。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。