雇佣关系中开除员工是否需要赔偿，取决于开除的原因和是否符合法律规定。以下从不同角度为您详细分析：
一、无需支付经济补偿金的情形（合法解除）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，若员工存在以下情形之一，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金：
在试用期间被证明不符合录用条件的：
- 用人单位需有明确的录用条件，并在试用期内对劳动者进行考核。若考核不合格，可依法解除劳动合同。
严重违反用人单位的规章制度的：
- 规章制度需经民主程序制定并公示，内容合法合理。劳动者严重违反时，用人单位可解除合同。例如，员工多次无故旷工、严重违反工作纪律等。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：
- 需有明确证据证明劳动者的行为导致重大损失，如经济损失达到一定数额或造成其他严重后果。例如，员工因疏忽大意导致公司财产重大损失。
劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：
- 双重劳动关系影响本职工作或拒不改正时，用人单位可解除合同。
因欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的：
- 如劳动者提供虚假学历、工作经历等，用人单位可主张合同无效并解除。
被依法追究刑事责任的：
- 劳动者被判处刑罚或被采取强制措施时，用人单位可解除合同。
二、需要支付经济补偿金的情形（合法解除但需补偿）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条和第四十六条的规定，以下情形下用人单位需支付经济补偿金：
协商一致解除劳动合同：
- 用人单位与劳动者协商一致解除合同，需按工作年限支付经济补偿金。例如，双方因公司业务调整协商解除劳动合同。
无过失性辞退：
- 劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作；
- 不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任；
- 劳动合同订立时依据的客观情况发生重大变化致使合同无法履行，双方未能就变更合同达成协议。
经济性裁员：
- 用人单位因经营困难需裁减人员时，需提前向工会或全体职工说明情况，听取意见后报劳动行政部门备案，并按规定支付经济补偿金。
用人单位依法终止固定期限劳动合同：
- 合同期满未续签或用人单位主体资格消灭时，需支付经济补偿金。
用人单位以暴力、威胁或者非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动的，或者用人单位违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全的：
- 劳动者有权立即解除合同，用人单位需支付经济补偿金。
经济补偿金的计算标准：
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资）。
- 月工资定义：指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若月工资高于当地职工月平均工资三倍，支付标准按三倍计算，年限最高不超过十二年。
三、违法解除的法律后果（需支付赔偿金）
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若应支付经济补偿金为N个月工资，则违法解除时需支付2N个月工资的赔偿金。
举例说明：
- 假设员工在公司工作了3年，月工资为5000元。若公司合法解除劳动合同且需支付经济补偿金，则应支付3个月工资，即15000元。
- 若公司违法解除劳动合同，则需支付赔偿金，即2倍的经济补偿金，为30000元。
建议：
- 若您被开除且认为开除原因不合法或未获得应有的经济补偿，建议收集相关证据（如劳动合同、工资单、开除通知等），并咨询专业律师以维护自身权益。
- 在与用人单位协商或处理劳动争议时，保持冷静和理性，避免情绪化行为影响后续维权。
希望以上分析能对您有所帮助。如有其他法律问题，欢迎直接向我咨询。