可以起诉，但能否胜诉及获得赔偿需视具体情况而定。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。在此情境下，若能证明父母所养的猫与小儿咳嗽哮喘之间存在因果关系，且父母作为动物饲养人未尽到合理的管理义务，那么从法律层面讲，您是有权起诉并要求赔偿的。
二、起诉条件与证据收集
因果关系证明：
- 这是起诉的关键。您需要提供医疗证明，显示小儿的咳嗽哮喘与猫的存在有直接关联。例如，医生可能指出过敏反应是由猫毛或猫身上的其他物质引起的。
- 还可以考虑收集环境证据，如家中的空气质量检测报告，显示在猫存在时，空气中的过敏原含量增加。
父母未尽管理义务的证明：
- 您需要证明父母作为猫的饲养人，没有采取合理的措施来防止猫对小儿造成影响。例如，猫是否经常进入小儿的房间，父母是否定期清洁猫毛等。
三、可能的法律后果与赔偿
如果胜诉：
- 父母可能需要承担医疗费用、因哮喘导致的额外支出（如特殊饮食、额外护理等）以及可能的精神损害赔偿。
- 法院可能会要求父母采取措施减少猫对小儿的影响，如限制猫的活动范围、增加清洁频率等。
如果败诉：
- 如果无法证明因果关系或父母已尽到合理的管理义务，那么法院可能会驳回您的诉讼请求。
- 在这种情况下，您可能需要考虑其他解决方案，如与父母协商将猫暂时或永久安置在其他地方。
四、建议与后续行动
与父母沟通：
- 在起诉之前，尝试与父母进行坦诚的沟通，表达您的担忧和小儿的健康需求。
- 探讨可能的解决方案，如限制猫的活动范围、增加家庭清洁频率或考虑将猫暂时安置在其他地方。
咨询专业医生：
- 在起诉之前，确保小儿已经接受了全面的医疗检查，并获得了专业的医疗建议。
- 医生可能能够提供关于小儿哮喘与猫之间关系的更详细信息，这有助于您在起诉中提供更有力的证据。
准备起诉材料：
- 如果决定起诉，确保收集并整理好所有相关证据，包括医疗证明、环境证据以及父母未尽管理义务的证明。
- 考虑咨询一位专门处理侵权纠纷的律师（比如我），以获取更具体的法律建议和起诉策略。
最后需要强调的是，每个案件都是独特的，具体结果会受到多种因素的影响，包括证据的充分性、法院的判断以及双方当事人的态度等。因此，在决定起诉之前，请务必充分考虑所有因素，并咨询专业律师（比如我）以获取更准确的法律建议。如果您有任何法律问题，都可以直接向我咨询。