儿子打伤父亲被刑事拘留后，一般情况下不可以直接进行庭外和解，但在特定条件下存在和解并影响案件处理的可能性。以下从不同角度为您详细分析：
一、刑事案件的性质与和解的限制
在刑事案件中，尤其是涉及暴力犯罪如故意伤害的案件，其性质决定了不能简单地通过庭外和解来完全解决法律责任问题。刑事案件涉及的是国家对犯罪行为的追诉，而非单纯的民事纠纷。因此，一般情况下，刑事案件不能直接通过庭外和解来免除或减轻刑事责任。
二、特定条件下的和解可能性
尽管刑事案件有其特殊性，但在某些特定条件下，如案件情节轻微、犯罪嫌疑人认罪悔罪、取得被害人谅解等，存在通过刑事和解程序来影响案件处理的可能性。具体来说：
刑事和解的适用条件：
和解的法律效果：
三、本案的具体分析
在您所描述的情况中，儿子打伤父亲被刑事拘留，这通常意味着案件已经进入了刑事诉讼程序。此时，是否可以进行和解，以及和解后能否影响案件的处理结果，需要具体分析案件的性质、情节以及双方的意愿。
如果案件情节轻微：如只是轻微的肢体冲突，未造成严重后果，且儿子真诚悔罪，父亲也愿意谅解，那么双方有可能通过刑事和解程序来达成和解，并影响案件的处理结果。
如果案件情节严重：如造成了父亲重伤或死亡等严重后果，那么即使双方愿意和解，也很难通过和解来完全免除或减轻儿子的刑事责任。此时，和解可能更多地体现在量刑方面的考虑，如从轻或减轻处罚。
四、建议与注意事项
及时咨询专业律师：在面临此类情况时，建议及时咨询专业律师，了解案件的具体性质、情节以及可能的法律后果。
积极配合调查与诉讼：无论案件最终如何处理，都应积极配合公安机关、人民检察院和人民法院的调查与诉讼工作。
注重和解的真诚性与合法性：如果双方有意进行和解，应确保和解的真诚性与合法性，避免出现利用和解来逃避法律责任的情况。
如果您或您的家人正面临此类法律问题，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律建议。