国企不可以随便辞退有精神病的员工，能否辞退取决于员工的医疗期、病情、劳动能力以及是否存在特定不得辞退的情形。具体分析如下：

一、医疗期内的保护

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。这意味着，如果精神病员工正处于医疗期内，国企是无权辞退他的。医疗期的具体长度应根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为三个月到二十四个月不等。

二、医疗期满后的处理

1. 劳动能力鉴定：医疗期满后，国企应对精神病员工进行劳动能力鉴定，以评估其是否能继续从事原工作或单位另行安排的工作。
2. 辞退条件：如果鉴定结果为员工无法胜任工作，且不存在其他不得辞退的情形（如职业病导致的丧失劳动能力等），国企可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但此时，国企需要支付经济补偿，补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。

三、不得辞退的情形

除了医疗期内的保护外，如果精神病员工的情况符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条中其他不得辞退的情形（如被确认为职业病并因此丧失或部分丧失劳动能力等），国企同样不得解除劳动合同。

四、违法辞退的后果

如果国企违反上述规定，随意辞退精神病员工，将构成违法解除劳动合同。此时，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

五、建议与注意事项

1. 合规操作：国企在辞退精神病员工时，必须严格遵守相关法律法规，确保行为的合法性与合理性。
2. 人道关怀：在处理此类问题时，国企应充分考虑员工的实际情况和病情，确保辞退行为的合理性和人道性。
3. 沟通协商：在整个过程中，国企应保持与员工的沟通，尊重其权益和感受，尽量通过协商解决问题。

综上所述，国企在辞退精神病员工时，应综合考虑法律法规、医疗期、劳动能力鉴定以及补偿与待遇等多方面因素。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。