针对您提出的“立遗嘱人当天过世了，该怎么处理”的问题，这主要涉及到遗嘱的继承和遗产的处理两个方面，以下我将结合相关法律法规和实际操作流程，为您详细解答：
一、遗嘱继承的处理
遗嘱的有效性确认：
- 首先，需要确认立遗嘱人生前所立的遗嘱是否有效。这通常涉及到遗嘱的形式要件（如是否为书面遗嘱、是否有立遗嘱人的签名和日期等）和实质要件（如立遗嘱人是否具备完全民事行为能力、遗嘱内容是否真实合法等）。
- 如果遗嘱有效，且遗嘱中指定的继承人（或受遗赠人）在立遗嘱人去世时仍然健在，那么该继承人（或受遗赠人）将按照遗嘱的指示继承遗产。
遗嘱继承人先于遗嘱人死亡的情况：
- 如果遗嘱继承人（或受遗赠人）在立遗嘱人之前去世，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱中指定由该继承人（或受遗赠人）继承的遗产部分，将按照法定继承办理。
- 法定继承的顺序为：第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
- 在您提到的情况中，如果立遗嘱人当天过世，且遗嘱继承人（如子女）也已先于立遗嘱人去世，那么遗嘱中指定由该子女继承的遗产部分，将由该子女的直系晚辈血亲（如孙子女、外孙子女）代位继承，但这一代位继承仅适用于法定继承部分，不适用于遗嘱继承。不过，更常见的是，该部分遗产会由立遗嘱人的其他第一顺序继承人（如配偶、其他子女、父母）共同继承。
二、遗产的处理流程
办理死亡证明：
- 居民死亡后，丧事承办人需要根据死亡地点和原因，向医疗机构、社区卫生服务机构或公安部门申请开具相应的死亡证明（如《居民死亡医学证明书》、《居民死亡推断书》或《居民死亡确认书》）。
注销户籍：
- 丧事承办人可以在“一网通办”总门户“公民身故一件事”专栏申请办理死亡人员户籍注销手续，无需至公安派出所窗口现场办理。
办理殡殓业务：
- 丧事承办人需携带死亡证明及本人有效身份证件至殡仪馆办理相关殡殓业务，包括接运遗体、预定礼厅和日期、选购丧葬用品、确定火化时间等。
遗产继承手续：
- 在确认遗嘱有效且遗嘱继承人健在的情况下，遗嘱继承人需按照遗嘱的指示办理遗产继承手续。
- 如果遗嘱继承人先于立遗嘱人去世，或者遗嘱无效、遗嘱未处分全部遗产等情况下，遗产将按照法定继承办理。此时，丧事承办人（或法定继承人）需要向相关部门（如公证处、法院等）申请办理遗产继承手续，包括提交死亡证明、亲属关系证明、遗嘱（如有）等材料。
三、特殊情况的处理
- 如果立遗嘱人当天过世且情况紧急，丧事承办人应首先确保遗体的妥善处理，并尽快办理死亡证明和户籍注销手续。
- 在处理遗产时，如果遇到争议或复杂情况（如多个继承人、遗嘱真实性存疑等），建议咨询专业律师或公证机构以获取法律帮助和指导。
综上所述，立遗嘱人当天过世后，遗产的处理需要遵循遗嘱继承和法定继承的相关规定，并按照实际流程办理死亡证明、户籍注销、殡殓业务和遗产继承手续。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询专业机构或律师。