在刑事案件庭审中，若被告人认罪但证据不足以证明其构成犯罪，法院通常会遵循“疑罪从无”原则进行处理。以下是对此问题的详细分析：
一、法院处理原则
“疑罪从无”原则：
- 根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，认定被告人有罪需达到事实清楚、证据确实充分的标准。若仅有被告人认罪，而证据无法充分证明犯罪事实，法院不能轻易作出有罪判决。
- 当证据不充分且无法排除合理怀疑时，法院应作出证据不足、指控的犯罪不能成立的无罪判决。
审慎审查证据：
- 法院会严格审查判断证据，确保证据的真实性、合法性和关联性。若证据达不到法定证明标准，即无法形成完整的证据链条以证实犯罪的成立，法院应依法宣告被告人无罪。
二、具体处理流程
侦查阶段：
- 若在侦查阶段发现证据不足，侦查机关可能撤销案件，不再继续追究被告人的刑事责任。
审查起诉阶段：
- 检察院在审查起诉时，若认为证据不足，可能要求侦查机关补充侦查。若补充侦查后证据仍不足，检察院应作出不起诉决定。
审判阶段：
- 若案件进入审判阶段，法院在审理过程中发现证据不足，不能认定被告人有罪的，应当作出证据不足、指控的犯罪不能成立的无罪判决。
三、被告人及其辩护人的权利
上诉或申诉：
- 若被告人对法院的处理结果存疑，认为证据确实不足以支持有罪判决，被告人及其辩护人可依法上诉或申诉，通过法定程序维护自身权益。
提供新证据：
- 在上诉或申诉过程中，被告人及其辩护人可以积极寻找并提交新的证据，以支持其无罪或罪轻的主张。
四、特殊情况考量
认罪态度：
- 虽然被告人认罪，但法院在判决时会综合考虑其认罪态度。然而，认罪态度本身并不能作为定罪的唯一依据，必须与其他证据相结合进行判断。
后续补充证据：
- 若在判决后发现新的证据，能够证明被告人有罪，司法机关可能会继续追诉。但在此之前，必须遵循“疑罪从无”原则，保障被告人的合法权益。
五、实际案例参考
以小何涉嫌盗窃案为例，庭审中小何承认实施了盗窃行为，但警方收集的证据未能充分证明小何盗窃的具体经过和犯罪事实。在此情况下，法院会依据“疑罪从无”原则，审查案件性质、证据薄弱点等因素，确保判决准确。若证据不足，法院会作出无罪判决。
综上所述，在刑事案件庭审中，若被告人认罪但证据不足以证明其构成犯罪，法院会遵循“疑罪从无”原则进行处理。被告人及其辩护人应积极行使权利，通过法定程序维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。