当您遇到行政履职申请没有得到回复的情况时，可以按照以下步骤来处理，以确保您的权益得到妥善维护：
一、确认是否超过法定期限
首先，您需要明确您所提交的行政申请类型，并对照相关法律法规来确定行政机关的法定答复期限。不同类型的行政申请，其答复期限可能有所不同。例如，行政许可申请通常在受理之日起二十日内作出决定，而政府信息公开申请则应在收到申请之日起20个工作日内答复。如果已经超过了法定的答复期限，那么行政机关的不答复行为就可能构成了违法。
二、进行沟通催问
在确认尚未超过法定期限或刚刚超过法定期限时，建议您主动与行政机关进行沟通。您可以通过书面（如挂号信、特快专递等，并保留好寄送凭证）或电话等方式，礼貌地询问您的申请事项的进展情况，并提醒行政机关尽快处理。这样的沟通有助于了解申请的具体情况，也可能促使行政机关加快处理速度。
三、寻求行政系统内部监督解决
如果沟通催问后仍然没有得到回复，您可以考虑寻求行政系统内部的监督解决途径：
向上级机关反映：您可以向该行政机关的上一级行政机关提交申请书及相关证明材料，反映行政机关未答复的情况，并请求上级机关责令其限期作出答复。
向行政监察机关投诉：各级监察委员会负责对公职人员进行监察。如果行政机关不履行法定职责（包括不答复申请），您可以向监察机关投诉，监察机关将依法进行调查处理。
四、法律救济途径
如果行政系统内部的监督解决途径未能奏效，您可以考虑通过法律救济途径来维护自己的权益：
行政复议：根据《中华人民共和国行政复议法》，如果行政机关的不答复行为侵犯了您的合法权益，您可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。复议申请书应说明复议请求、事实和理由，并附上相关证据。复议机关经审理认为行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内作出答复。
行政诉讼：如果您对行政复议结果不满意或不愿意经过行政复议程序，您可以直接向人民法院提起行政诉讼。诉讼应在知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。在诉讼中，您需要提供证据证明自己提出过申请且行政机关未答复的事实。法院将根据审理情况判决行政机关履行答复职责，并可能判决行政机关承担相应赔偿责任。
五、寻求法律援助
在申请行政复议或提起行政诉讼过程中，如果您遇到法律难题或需要专业法律帮助，可以寻求法律援助机构的帮助。法律援助机构将为符合条件的申请人提供法律咨询、代理等法律服务，以助您更好地维护自己的权益。
综上所述，面对行政机关不答复的情况，您应通过合法途径积极维护自身权益。从确认法定期限到沟通催问，再到寻求行政系统内部监督解决和法律救济途径，每一步都应谨慎而有序地进行。希望这些建议能对您有所帮助。