结论前置：针对您的情况，虽然您和妻子没有办理结婚手续但存在婚姻事实，然而妻子与他人同居的行为一般并不直接构成公安机关管辖的刑事案件，所以不能直接通过报警来处理。不过，您可以通过法律途径来维护自己和孩子的合法权益。
一、关于报警的适用性
非刑事案件范畴：
- 通常情况下，妻子与他人同居的行为，并不直接构成《刑法》所规定的犯罪行为，如重婚罪需要满足一定的条件（有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的），且需要证据证明双方以夫妻名义共同生活。仅仅同居，并不足以直接认定为重婚罪，因此不属于公安机关直接管辖的刑事案件范畴。
民事纠纷性质：
- 您和妻子之间的情况，更多属于民事纠纷范畴，特别是涉及到同居关系期间的财产分割、子女抚养等问题。这类问题通常需要通过民事诉讼途径来解决，而非报警。
二、法律途径的解决方案
确认同居关系及财产、子女情况：
- 首先，您需要收集并整理与妻子同居期间的财产证明、子女出生证明等相关证据，以明确双方的权利义务关系。
协商或诉讼解决：
- 您可以尝试与妻子进行协商，就财产分割、子女抚养等问题达成一致意见，并签订书面协议。
- 如果协商不成，您可以向人民法院提起民事诉讼，请求法院对同居期间的财产进行分割，并确定子女的抚养权和抚养费等问题。
关注子女权益：
- 在处理此类问题时，应特别关注子女的权益保护。确保子女的抚养权和抚养费得到妥善安排，以保障子女的健康成长。
三、法律建议
及时咨询专业律师：
- 鉴于此类问题的复杂性和敏感性，建议您及时咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。
保留相关证据：
- 在处理过程中，务必保留好所有相关证据，包括但不限于财产证明、子女出生证明、同居期间的照片、视频、聊天记录等，以备不时之需。
理性处理，避免冲突：
- 在处理此类问题时，应保持理性，避免情绪化行为导致冲突升级。通过合法途径来维护自己的权益，是更为明智的选择。
总结：虽然您不能直接通过报警来处理妻子与他人同居的问题，但您可以通过法律途径来维护自己和孩子的合法权益。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。