行政执法部门在特定情况下能提取劳动仲裁证据，这主要基于法律赋予的调查取证权以及案件关联性的考量。以下是对此问题的详细分析：

一、法律赋予的调查取证权

行政执法部门，如劳动监察部门，在履行其法定职责时，拥有相应的调查取证权。这种权力来源于相关法律法规的明确规定，旨在确保行政执法的公正性和有效性。在劳动领域，当行政执法部门接到关于劳动违法行为的举报或投诉时，为了查明事实真相，依法对违法行为进行查处，有权对相关证据进行调查和提取。这些证据可能包括但不限于劳动合同、工资单、考勤记录、工作证等，它们对于证明劳动关系的存在、劳动条件的履行以及违法行为的实施等具有关键作用。

二、案件关联性的考量

行政执法部门提取劳动仲裁证据的另一个重要前提是证据与案件的关联性。在劳动仲裁过程中，当事人会提交一系列证据来支持自己的主张。如果这些证据同时与行政执法部门正在调查的劳动违法行为有关，那么行政执法部门就有权提取这些证据，以便更全面地了解案件情况，作出准确的行政处理决定。例如，如果劳动仲裁案件中涉及用人单位未支付工资的争议，而行政执法部门正在调查该用人单位是否存在拖欠工资的违法行为，那么劳动仲裁中的工资单、考勤记录等证据就可能成为行政执法部门提取的对象。

三、具体情境下的应用

1. 劳动监察部门调查：当劳动监察部门接到关于用人单位违反劳动法律法规的举报或投诉时，为了查明事实真相，可能会要求用人单位或劳动者提供与劳动仲裁相关的证据。这些证据有助于劳动监察部门判断用人单位是否存在违法行为，并据此作出相应的行政处理决定。
2. 行政复议或行政诉讼中的证据使用：在行政复议或行政诉讼过程中，如果劳动仲裁证据与行政行为的合法性有关，行政执法部门（作为被申请人或被告）可能会提取这些证据来支持自己的主张。例如，在行政复议中，如果申请人对劳动监察部门作出的行政处理决定不服，提出复议申请，那么劳动监察部门在复议过程中可能会提交劳动仲裁中的相关证据来证明自己的处理决定是合法和合理的。

四、注意事项

虽然行政执法部门在特定情况下能提取劳动仲裁证据，但也必须遵守相关法律法规的规定，确保证据的合法性和有效性。同时，行政执法部门在提取证据时，应当尊重当事人的合法权益，不得侵犯当事人的隐私权和商业秘密等。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。