分公司不可以开工作介绍信但不给予员工。以下是对此问题的详细分析：

一. 工作介绍信的性质与作用

1. 性质：工作介绍信通常是由公司出具，用于证明员工身份、职务、工作职责等信息的正式文件。
2. 作用：对于员工而言，工作介绍信是其在新单位或新岗位上的“身份证明”，有助于其顺利开展工作并享受相应的权益。

二. 分公司与员工的关系

1. 分公司的法律地位：分公司作为公司的分支机构，其行为代表着公司的意志和利益。
2. 员工的权益：员工有权获得与其工作相关的所有必要文件，包括工作介绍信，以确保其能够正常履行工作职责并享受权益。

三. 法律分析与结论

1. 法律依据：虽然具体的法律法规可能未直接规定分公司必须给员工开工作介绍信，但根据《中华人民共和国劳动法》等相关法律，员工有权了解其工作内容、工作地点等基本信息，并有权获得与工作相关的必要文件。
2. 逻辑推理：如果分公司开具了工作介绍信但不给予员工，这实际上剥夺了员工了解其工作信息和享受相应权益的权利，与劳动法的精神相悖。
3. 结论：因此，分公司开具工作介绍信后，应当给予员工，以确保其能够正常履行工作职责并享受相应的权益。

四. 建议与后续行动

• 我建议：分公司应当建立健全的管理制度，确保工作介绍信等必要文件能够及时、准确地发放到员工手中。
• 后续行动：如果员工发现分公司未提供工作介绍信或其他必要文件，可以与公司进行沟通协商，要求公司提供。如公司拒绝提供，员工可以依法向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。

综上所述，分公司不可以开工作介绍信但不给予员工。如有进一步需要，您可以继续咨询我。