是否需要协商申请，取决于具体的法律法规和劳动合同约定，但通常法定退休年龄的变更不由个人与单位协商确定。

一. 法定退休年龄的变更

1. 法定退休年龄是由国家法律法规规定的，通常不会因为个人或单位的意愿而改变。当国家调整法定退休年龄时，这一变化通常会自动适用于所有符合条件的劳动者，无需个人与单位进行协商。
2. 以你提到的情况为例，原法定退休年龄为50岁，现调整为51岁，这一变化是由国家法律法规决定的，个人和单位都需要遵守。

二. 劳动合同约定

1. 虽然法定退休年龄是强制性的，但劳动合同中可能包含与退休相关的约定。这些约定可能涉及退休年龄、退休后的待遇等。
2. 如果劳动合同中的约定与法定退休年龄不一致，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么双方可能需要按照劳动合同的约定来执行。但请注意，这并不意味着可以协商改变法定退休年龄。

三. 实际操作建议

1. 关注法律法规变化：及时了解国家关于退休年龄的最新规定，以便做好相应的准备。
2. 查阅劳动合同：检查自己的劳动合同中是否有与退休相关的约定，并了解这些约定与法定退休年龄的关系。
3. 咨询单位人事部门：如果对退休年龄或退休后的待遇有疑问，可以向单位的人事部门咨询，以获取准确的信息。

综上所述，法定退休年龄的变更通常不由个人与单位协商确定，而是由国家法律法规规定的。因此，你不需要因为法定退休年龄从50岁调整为51岁而与单位进行协商申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。