在没给抚养费被起诉且银行卡被冻结的情况下，只有履行了支付抚养费的义务，或者与对方达成和解协议并得到法院认可后，银行卡才有可能被解冻。具体分析如下：

一. 抚养费支付与银行卡冻结

1. 抚养费支付义务：根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这是法律明确规定的抚养义务。
2. 银行卡冻结的原因：若未履行支付抚养费的义务，对方有权向法院提起诉讼，并申请强制执行。根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百四十九条，被执行人未按执行通知履行法律文书确定的义务，人民法院有权查询、扣押、冻结、划拨、变价被执行人的财产，包括银行卡内的存款。

二. 解冻条件

1. 履行支付义务：最直接且有效的解冻方式是履行支付抚养费的义务。一旦支付完毕，可以向法院申请解冻银行卡。
2. 达成和解协议：若暂时无法一次性支付全部抚养费，可以与对方协商达成和解协议，明确支付方式和期限。和解协议需得到法院的认可，之后法院可能会根据协议内容解冻银行卡或采取其他相应措施。

三. 解冻流程

• 履行支付义务或达成和解协议后，需要向法院提交相关证明材料，如支付凭证、和解协议等。
• 法院会对提交的材料进行审核，确认无误后会作出解冻裁定，并发出协助执行通知书给相关金融机构。
• 金融机构收到协助执行通知书后，会按照裁定内容解冻银行卡。

我建议，在银行卡被冻结后，应尽快与对方沟通，协商解决方案，并尽快履行支付义务或达成和解协议，以便尽快解冻银行卡。如有进一步需要，您可以继续咨询我。