被派遣员工发生工伤时，责任主要由劳务派遣单位承担，用工单位在特定情况下承担连带赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的工伤责任
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括为劳动者缴纳工伤保险费。因此，当被派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位有义务依法申请工伤认定，并承担工伤保险责任。
责任范围：劳务派遣单位需为被派遣员工足额缴纳工伤保险费。若未履行此义务，当工伤事故发生时，相应的工伤保险待遇需由劳务派遣单位支付。这包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
二、用工单位的连带赔偿责任
特定情况：用工单位在特定行为导致被派遣劳动者损害时，需承担连带赔偿责任。例如，若用工单位提供的工作环境存在安全隐患，导致劳动者受伤，则劳务派遣单位和用工单位需共同承担连带赔偿责任。
安全保障义务：用工单位对劳动者负有安全生产保障义务，包括提供安全生产设施、设置安全生产管理机构或配备专职安全生产管理人员、进行安全教育与培训等。若用工单位未尽到这些义务，导致劳动者发生工伤事故，用工单位需承担相应责任。
三、劳务派遣协议的重要性
协议内容：劳务派遣单位派遣劳动者时，应与用工单位订立劳务派遣协议。协议需明确双方的权利和义务，包括工伤责任的承担等相关事宜。这有助于在工伤事故发生时，明确双方的责任范围，避免纠纷。
责任约定：劳务派遣协议中可以约定工伤责任的补偿办法。虽然劳务派遣单位承担工伤保险责任，但双方可以协商约定由用工单位承担部分或全部补偿责任。这种约定需符合法律法规的规定，并确保劳动者的合法权益得到保障。
四、实际操作建议
及时申请工伤认定：被派遣员工发生工伤后，劳务派遣单位应及时向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若单位未按规定提出申请，员工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内直接提出申请。
保留证据：在工伤事故发生后，被派遣员工应保留相关证据，如医疗记录、事故现场照片等。这些证据有助于在工伤认定和赔偿过程中维护自己的合法权益。
寻求法律帮助：若在工伤责任承担方面存在争议或纠纷，被派遣员工可以寻求法律帮助。作为吴中律师，我具备专业的劳动纠纷处理经验，可以为您提供全面的法律咨询和代理服务。
总结来看，被派遣员工发生工伤时，责任主要由劳务派遣单位承担。用工单位在特定情况下需承担连带赔偿责任。双方应通过劳务派遣协议明确各自的权利和义务，包括工伤责任的承担。在实际操作中，被派遣员工应及时申请工伤认定、保留证据，并在必要时寻求法律帮助。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。