被派遣人员执行工作任务受伤，主要由接受劳务派遣的用工单位承担责任，劳务派遣单位在有过错的情况下承担相应责任。以下是对此问题的详细分析：
一、用工单位责任
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任。这一规定同样适用于被派遣人员执行工作任务受伤的情况，因为用工单位是实际使用劳动力的主体，也是劳动成果的直接受益者。
责任承担：
- 用工单位应当为被派遣人员提供安全的工作环境，确保其执行工作任务时的人身安全。若因用工单位的原因（如设备缺陷、管理不善等）导致被派遣人员受伤，用工单位应承担相应的赔偿责任。
二、劳务派遣单位责任
过错责任：
- 劳务派遣单位在选任、培训、监督被派遣员工等方面存在过错，如未进行必要的技能培训或未审查其相应资质，导致员工在工作中受伤的，劳务派遣单位需承担与其过错相应的补充责任。
举证要求：
- 劳务派遣单位需证明自己在选任、监督等方面没有过错，否则将承担相应的法律责任。例如，若劳务派遣单位未对被派遣人员进行必要的安全培训，导致其在工作中受伤，劳务派遣单位可能需承担赔偿责任。
三、特殊情况下的责任划分
个人原因导致的伤害：
- 若被派遣劳动者的受伤是由于自身故意行为、违反操作规程或其他个人原因造成的，且用工单位和劳务派遣单位不存在过错，则相关损失通常由劳动者自行承担。但此情况下仍需结合具体案情判断，例如劳动者是否因用工单位提供的设备缺陷而违规操作。
劳务派遣单位未缴纳工伤保险费：
- 若劳务派遣单位未依法为被派遣劳动者缴纳工伤保险费，导致被派遣劳动者无法享受工伤保险待遇的，劳务派遣单位需承担相应的赔偿责任。
四、工伤认定与赔偿流程
工伤认定申请：
- 被派遣劳动者或其近亲属应在事故伤害发生之日起一年内，向用工单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。提交材料包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料及医疗机构诊断证明等。
劳动能力鉴定：
- 经治疗伤情相对稳定后，可向劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定，确定伤残等级。
工伤保险基金支付：
- 认定为工伤后，由工伤保险基金支付医疗费、康复费等费用；构成伤残的，按伤残等级支付一次性伤残补助金等。
单位支付部分：
- 用工单位需支付停工留薪期工资福利待遇，劳务派遣单位承担连带责任。
五、争议解决途径
若各方对责任承担存在争议，可通过以下方式解决：
- 协商调解：优先通过友好协商解决争议。
- 劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 法律诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼。
总结与建议：被派遣人员执行工作任务受伤时，用工单位通常承担主要责任，劳务派遣单位在有过错时承担补充责任。在处理此类案件时，应综合考虑各方主体的过错程度、行为性质以及证据情况。若您或您身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。