结论：交通事故私了后全责方支付给修理厂维修费用，发票的开具对象需结合实际情况判断，通常建议优先开给实际支付方（全责方），但需注意合同相对性及税务合规要求。以下是具体分析：
1. 发票开具的基本原则：合同相对性
根据《发票管理办法》及税务实践，发票的开具对象应与实际接受服务或支付款项的主体一致。若全责方直接向修理厂支付维修费用，且双方约定由修理厂向全责方开具发票，则发票应开给全责方。这是基于合同相对性原则，即修理厂与全责方之间形成了事实上的维修服务合同关系。
例外情形：若无责方（如车主）与修理厂签订了维修合同，并委托全责方代付费用，则发票可能需开给无责方。但此情况下，全责方应要求无责方出具书面委托支付证明，以避免税务风险。
2. 私了协议的约定优先
若双方在私了协议中明确约定了发票的开具对象（如“维修费用由全责方支付，发票开给全责方”），则应按协议执行。私了协议作为双方真实意思表示的合意，对双方具有约束力。但需注意，协议内容不得违反法律强制性规定（如虚开发票等）。
建议：私了协议中应明确约定发票开具对象、金额、支付方式等细节，并保留好协议原件及支付凭证，以备后续争议。
3. 税务合规要求
从税务角度，发票的开具需真实反映经济业务实质。若全责方支付费用但发票开给无责方，可能被税务机关认定为“虚开发票”，导致双方面临税务处罚。因此，无论私了协议如何约定，发票的开具均需符合税务合规要求。
操作提示：全责方支付费用后，可要求修理厂直接开具发票给自己，并附上维修清单、支付凭证等材料，以证明费用真实性。
4. 无责方的权益保障
若无责方需凭发票向保险公司理赔（如车损险），则发票需开给无责方。此时，全责方与无责方可协商由修理厂开具两张发票（一张给全责方作为支付凭证，一张给无责方作为理赔凭证），但需确保两张发票的金额、项目等一致，且符合税务规定。
风险提示：若修理厂拒绝开具两张发票，或发票内容存在矛盾，可能导致无责方无法顺利理赔。因此，建议无责方在私了前与保险公司确认理赔所需材料，并提前与全责方、修理厂沟通发票开具事宜。
总结与建议
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