公安执行逮捕的法律规定主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下是详细的法律要点和执行程序：
一、逮捕的条件
根据《刑事诉讼法》第八十一条，逮捕需满足以下条件：
有证据证明有犯罪事实：
- 这包括有证据证明发生了犯罪行为。
- 该犯罪行为系犯罪嫌疑人实施。
- 证明犯罪嫌疑人实施犯罪行为的证据已有查证属实。
可能判处徒刑以上刑罚：
- 即根据现有证据，犯罪嫌疑人可能被判处徒刑以上的刑罚。
有逮捕必要：
- 采取取保候审、监视居住等方法，尚不足以防止发生社会危险性。
- 例如，犯罪嫌疑人可能实施新的犯罪、有危害国家安全、公共安全或者社会秩序的现实危险等情形。
二、逮捕的决定或批准
决定逮捕：
- 人民法院在审理案件过程中，对于符合逮捕条件的被告人，可以决定逮捕。
- 人民检察院对直接受理的案件中符合上述条件的犯罪嫌疑人，也有权决定逮捕。
提请批准逮捕：
- 公安机关认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，应写出提请批准逮捕书，并连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查批准。
- 对于被拘留的人，公安机关应在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准逮捕；特殊情况下可延长一日至四日；对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请时间可延长至三十日。
审查批准逮捕：
- 人民检察院负责审查公安机关提请的逮捕申请，并根据情况作出批准或不批准的决定。
- 审查决定由检察长负责，重大案件需提交检察委员会讨论。
三、逮捕的执行
执行主体与逮捕证的签发：
- 逮捕由公安机关执行，且必须经人民检察院批准或人民法院决定。
- 县级以上公安机关负责人负责签发逮捕证。
执行逮捕的具体步骤：
- 执行逮捕的人员不得少于二人。
- 执行时，必须向被逮捕人出示逮捕证，并要求其在逮捕证上签名（盖章）或捺指印；若拒绝，侦查人员应注明。
- 逮捕后，应立即将被逮捕人送看守所羁押。
逮捕后的通知与讯问：
- 除无法通知的情形外，应在逮捕后二十四小时内通知被逮捕人的家属；无法通知的情形消除后，应立即通知。
- 公安机关必须在逮捕后的二十四小时以内对被逮捕人进行讯问；若发现不应当逮捕，应立即释放并发给释放证明。
四、特殊规定
- 异地逮捕：到异地执行逮捕时，公安机关应通知被逮捕人所在地的公安机关，并携带相关文件（如批准逮捕决定书、逮捕证等）；被逮捕地的公安机关应协助执行。
- 人大代表逮捕：若犯罪嫌疑人、被告人是县级以上人大代表，在执行逮捕前，公安机关需书面报请该代表所属的人民代表大会主席团或常务委员会许可。
五、法律后果与救济
- 错误逮捕的救济：如果逮捕行为被证实是错误的，被逮捕人有权依法获得国家赔偿，并可以追究相关责任人员的法律责任。
- 羁押必要性审查：犯罪嫌疑人、被告人被逮捕后，人民检察院仍应当对羁押的必要性进行审查。对不需要继续羁押的，应建议予以释放或者变更强制措施。
在实际操作中，公安机关应严格遵循上述法律规定执行逮捕，确保逮捕行为的合法性与正当性。同时，被逮捕人及其家属也有权了解羁押的场所和理由，并在规定时间内获得通知。如果您或您身边的人遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。