核心结论：针对继父不管生病母亲的情况，可通过签订责任书明确继父的扶养义务，但需注意责任书的法律效力及实施方式；同时，也可考虑通过法律途径追究继父的扶养责任。以下为具体分析：

1. 责任书的法律效力与内容：

   • 责任书作为一种民事协议，若内容合法、双方自愿签署，则具有一定的法律效力。但需注意，责任书不能违反法律强制性规定，如不能免除法定扶养义务。
   • 在责任书中，应明确继父对生病母亲的扶养义务，包括但不限于提供生活费用、医疗费用、护理等。同时，可设定违约责任，如继父未履行义务，需承担的经济赔偿或其他法律责任。
   • 责任书签署后，建议进行公证，以增强其法律效力。若继父拒绝签署或签署后不履行，责任书可作为后续法律维权的证据之一。

2. 法律途径追究扶养责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》相关规定，继父母与继子女间，若形成抚养教育关系，则继父母对继子女有扶养义务，反之，继子女对继父母也有赡养义务。若继父与母亲存在婚姻关系，且继父未履行对母亲的扶养义务，母亲或其法定代理人（如子女）有权通过法律途径追究继父的责任。
   • 具体法律途径包括：向法院提起民事诉讼，要求继父履行扶养义务；若继父的行为构成遗弃罪，还可向公安机关报案，追究其刑事责任。

3. 实施建议：

   • 在签订责任书前，建议与继父进行充分沟通，明确其不履行扶养义务的原因及困难，尝试通过协商解决问题。
   • 若协商无果，可寻求社区、居委会或妇联等组织的帮助，进行调解。
   • 若调解无效，再考虑签订责任书或通过法律途径解决。在此过程中，建议咨询专业律师，以确保法律程序的正确性和有效性。

行动建议：针对您的情况，我建议您首先与继父进行坦诚沟通，明确表达您的诉求和期望。若沟通无果，可考虑签订责任书或寻求法律帮助。在此过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。