面对头发被烫断而商家不赔钱的情况，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：
一、与商家协商
首先，建议您尝试与理发店进行友好协商。在协商过程中，您可以：
- 明确表达不满：向商家详细说明您对烫发效果的不满，特别是头发被烫断这一严重问题。
- 提出退款或赔偿要求：根据您的损失情况，提出具体的退款金额或赔偿要求，如要求商家承担修复头发的费用或给予一定的经济补偿。
- 听取商家意见：耐心听取商家的解释和意见，寻求双方都能接受的解决方案。
二、投诉举报
如果协商无果，您可以考虑向相关消费者权益保护机构或行业协会进行投诉：
- 拨打消费者投诉热线：您可以拨打当地的消费者投诉热线，反映您的问题，并寻求他们的帮助和支持。
- 向相关行政部门举报：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，如果商家故意拖延或无理拒绝您的合理要求，您可以向相关行政部门进行举报，要求其对理发店进行查处。
三、法律途径
若上述方式均未能解决问题，您可以考虑通过法律途径来维权：
- 咨询专业律师：在采取法律行动之前，建议您咨询专业律师，了解您的法律权益和可能的维权途径。
- 提起民事诉讼：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因理发店的过错导致您的头发受损，您有权要求其承担侵权责任，并赔偿因此造成的损失。您可以向法院提起民事诉讼，要求商家赔偿您的经济损失和精神损害。
四、注意事项
在维权过程中，请您注意以下几点：
- 保持冷静和理性：避免采取过激或不合法的行为，以免加重自己的损失或承担法律责任。
- 妥善保管证据：请妥善保管好相关证据和资料，如烫发前后的照片、收据、与商家的沟通记录等，以便在需要时能够及时提供。
综上所述，面对头发被烫断而商家不赔钱的情况，您可以通过协商、投诉举报以及法律途径等方式来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。