当夫妻共同财产中的一方身亡时，债务的承担需根据债务性质来区分，具体分为夫妻共同债务和个人债务两种情况：

一、夫妻共同债务的承担

夫妻共同债务通常是为了满足夫妻共同生活的需要而产生的，比如为了家庭的日常开销（如购买生活用品、支付水电费等）所欠下的债务，或者夫妻双方共同从事生产经营活动（如共同经营一家店铺）在经营过程中所产生的债务。

• 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻共同债务应当由夫妻双方共同承担。当一方死亡后，生存的一方应当对婚姻关系存续期间的共同债务承担连带清偿责任。这是因为这些债务是夫妻双方共同生活所产生的，是夫妻共同的经济责任。
• 具体承担方式：生存一方需要用其个人财产来偿还这部分债务。如果生存一方的财产不足以清偿全部债务，债权人可以要求用死亡一方的遗产来偿还剩余部分。但在此情况下，遗产的继承人在继承遗产的范围内承担责任，即继承人只需在继承的遗产价值范围内偿还债务，超出部分无需承担。

二、个人债务的承担

若债务是死亡一方的个人债务，比如其个人不合理的开支（如过度消费、赌博等）所欠下的债务，或者未经对方同意擅自资助与其没有抚养关系的亲朋所负的债务等，则应由死亡一方的个人财产来偿还。

• 法律依据：同样根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人债务应以个人财产为限进行清偿。在夫妻共同财产中，死亡一方所占的份额会作为其遗产的一部分。
• 具体承担方式：首先，需要用死亡一方的遗产来偿还其个人债务。如果遗产的价值不足以清偿全部债务，那么就在遗产的范围内按照比例进行清偿。当然，如果继承人（如配偶、子女、父母等）自愿偿还超出遗产范围的部分，法律也是允许的。但继承人没有义务必须偿还超出遗产价值的债务。

三、特殊情况的处理

在实际处理中，还可能涉及房屋的继承等问题。比如，如果夫妻共同财产中包括房屋，且一方死亡后，房屋如何分割、继承人是否要在继承份额内承担债务等，都需要根据具体情况来确定。

• 房屋分割：如果房屋属于夫妻共同财产，且一方死亡后，另一方希望继续居住或出售房屋，可能需要先进行房屋的分割或评估，以确定死亡一方在房屋中的份额。
• 继承人责任：继承人在继承遗产的同时，也继承了相应的债务责任。但如前所述，继承人只需在继承的遗产价值范围内承担责任。

总结与建议：

在处理夫妻共同财产中一方身亡后的债务承担问题时，首先要仔细分清债务的性质（是夫妻共同债务还是个人债务），再根据具体情况确定相应的承担方式。如果涉及复杂的财产分割或债务清偿问题，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。