结论是：上班未签劳动合同，离职后申请仲裁，老板本身不会有直接的“仲裁记录”留存于公开系统，但仲裁结果会对老板产生实际影响，且仲裁过程本身会留下相关记录。 以下是详细分析：
一、仲裁记录的性质与留存
仲裁记录的定义：
- 仲裁记录通常指的是仲裁机构在处理案件过程中形成的各种文件、资料，包括仲裁申请书、答辩书、证据材料、仲裁裁决书等。这些记录主要保存在仲裁机构的档案中，用于记录仲裁过程和结果。
仲裁记录的留存与公开：
- 仲裁记录一般不对外公开，除非涉及法律规定的特定情形（如涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私的除外，但需经法定程序）。因此，老板不会因为被仲裁而直接在公开系统中留下“仲裁记录”。
- 然而，仲裁裁决书一旦作出，即具有法律效力，且可能通过一定渠道（如法院执行系统）被相关方查询，但这并不等同于公开的“仲裁记录”。
二、未签劳动合同与仲裁的关系
未签劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是对用人单位未签劳动合同的法定惩罚。
离职后申请仲裁的可行性：
- 劳动者在离职后，如果发现用人单位未与其签订劳动合同，仍然有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资差额等权益。
仲裁对老板的影响：
- 如果仲裁裁决支持劳动者的诉求，老板需要按照裁决结果支付相应的款项。这虽然不会直接在公开系统中留下“仲裁记录”，但会对老板的经济利益和声誉产生实际影响。
- 此外，如果老板不履行仲裁裁决，劳动者还可以向法院申请强制执行，这可能会进一步影响老板的信用记录和业务运营。
三、建议与注意事项
保留证据：
- 劳动者在申请仲裁前，应尽可能收集并保留与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于证明劳动者的诉求。
及时申请仲裁：
- 劳动者应在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内申请仲裁，以免超过仲裁时效而丧失胜诉权。
咨询专业律师：
- 虽然我作为胡润天律师在这里为你提供解答，但在实际操作中，每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议你如果有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细、更专业的法律建议。
综上所述，上班未签劳动合同，离职后申请仲裁，老板本身不会有直接的“仲裁记录”留存于公开系统。但仲裁结果会对老板产生实际影响，且仲裁过程本身会留下相关记录。因此，我建议你如果遇到类似情况，应及时咨询专业律师并采取相应的法律措施来维护自己的合法权益。