结论：在家人未开庭但法院已判决一年三个月有期徒刑的情况下，是否可以申请监外执行需结合具体条件判断，符合法定情形时可依法申请，但需通过法定程序由执行机关决定。以下是具体分析：

1. 监外执行的法定条件

根据《刑事诉讼法》第265条，被判处有期徒刑或拘役的罪犯，符合以下情形之一可暂予监外执行：

• 严重疾病：需省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件，证明病情严重到必须保外就医；
• 生活不能自理：适用于年老多病、身体残疾等丧失生活自理能力的情况；
• 怀孕或哺乳婴儿：女性罪犯在怀孕或正在哺乳自己婴儿的期间。

关键点：若家人不符合上述任一条件（如无严重疾病、未怀孕或哺乳、生活能自理），则无法申请监外执行。

2. 申请与决定程序

• 申请主体：通常由罪犯本人或其亲属向执行机关（如监狱、看守所）提出书面申请，并提交相关证明材料（如医疗证明、生活不能自理的鉴定等）；
• 决定机关：执行机关审核后，需报省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准；
• 法院角色：法院在判决阶段不直接决定监外执行，但若判决时已发现符合监外执行条件，可建议执行机关处理。

注意：监外执行并非“申请即批准”，需严格符合条件并经法定程序。

3. 未开庭判决的特殊性

若案件未经开庭直接判决（如适用速裁程序、被告人认罪认罚等），判决效力与普通程序相同。监外执行的申请与判决程序无关，核心仍在于是否符合法定条件。即使未开庭，只要判决生效后发现符合监外执行情形，仍可依法申请。

4. 建议行动步骤

1. 核实判决生效情况：确认判决是否已生效（一审判决需过上诉期，二审判决立即生效）；
2. 评估条件：对照《刑事诉讼法》第265条，判断家人是否符合监外执行条件；
3. 准备材料：如符合条件，收集医疗证明、生活不能自理鉴定等证据；
4. 提交申请：向执行机关（如看守所）提交书面申请及材料；
5. 跟进程序：配合执行机关的调查和审批流程。

温馨提示：监外执行是法律对特殊人群的人道主义安排，需严格依法申请。若对条件或程序有疑问，可直接向我咨询具体细节，我会结合案情进一步分析。