针对您提出的“纹身店员工私自开展洗纹身行政怎么处罚”的问题，以下是我根据相关法律法规及实际案例给出的详细解答：
首先，我们需要明确的是，洗纹身行为在多数情况下被归类为医疗美容项目。根据《医疗美容项目分级管理目录》中的规定，激光治疗（包括去文身）属于有创皮肤治疗项目，因此，洗纹身本质上是一种医疗行为。
接下来，我们分析纹身店员工私自开展洗纹身行为可能涉及的违法点：
无证执业：如果纹身店未取得《医疗机构执业许可证》，且洗纹身操作者无《医师资格证书》和《医师执业证书》，则该行为违反了《医疗美容服务管理办法》第八条、《医疗机构管理条例》第二十三条以及《基本医疗卫生与健康促进法》第三十八条第一款、第二款等规定。
违法所得：若纹身店在洗纹身过程中收取了费用，这部分费用将被认定为违法所得。即使事后退还了费用并进行了赔偿，但违法所得的事实已经成立。
针对上述违法行为，行政处罚通常包括以下几个方面：
责令停止执业服务：卫生健康主管部门会责令纹身店立即停止洗纹身等医疗美容服务。
没收违法所得和药品、医疗器械：包括洗纹身所使用的激光治疗仪等设备。
罚款：根据《基本医疗卫生与健康促进法》第九十九条第一款的规定，未取得医疗机构执业许可证擅自执业的，由县级以上人民政府卫生健康主管部门处违法所得五倍以上二十倍以下的罚款，违法所得不足一万元的，按一万元计算。在实际案例中，罚款数额可能根据违法情节的严重程度而有所不同。
以某市卫生监督所查处的案例为例，某刺青店因未取得《医疗机构执业许可证》且洗纹身操作者无相关资质，被处以没收洗纹身仪器并罚款51000元的行政处罚。
最后，我想强调的是，医疗安全无小事，洗纹身等医疗美容行为必须严格遵守相关法律法规。如果您或他人有洗纹身的需求，请务必选择持有效《医疗机构执业许可证》且许可范围包括“医疗美容科”的医疗美容机构或含医疗美容科的医疗机构，并确保操作者具备《医师资格证书》和《医师执业证书》。切勿因贪图便宜或方便而选择无资质的机构或个人进行洗纹身操作，以免给健康带来不必要的风险。