结论：在决定不用对方赔偿的情况下，您可以通过多种方式来表达对老师的感谢，这些方式主要侧重于情感表达和实际行动，而非法律层面的补偿。
一、情感表达层面
口头感谢：
- 最直接且简单的方式是当面向老师表达感谢。可以说：“老师，非常感谢您在这件事情上的公正处理和耐心调解，我们决定不要求对方赔偿了，真的非常感谢您的理解和帮助。”
书面感谢信：
- 写一封感谢信给老师，详细表达您对老师处理此事的感激之情。信中可以提及老师如何公正地处理了纠纷，以及这种处理方式对您和孩子的影响。
二、实际行动层面
赠送小礼物：
- 可以考虑赠送一些小礼物给老师，如书籍、花卉或手工艺品等，以表达您的感激之情。但需注意，礼物应适度，避免过于贵重或造成不必要的负担。
参与学校活动：
- 积极参与学校组织的各项活动，如家长会、志愿者活动等，以实际行动支持老师的工作和学校的发展。这不仅可以表达您对老师的感谢，还能增进家校之间的沟通和合作。
正面宣传：
- 在适当的场合下，如家长群、社交媒体等，正面宣传老师的公正处理和专业素养，为老师树立良好的形象。这既是对老师工作的认可，也是对其未来工作的鼓励。
三、法律层面的考量（虽不直接相关，但为全面分析提供背景）
- 在此情况下，法律层面的赔偿问题已经通过协商得到解决，即双方各承担一半责任，但您选择放弃对方的赔偿。这一决定是基于您的自愿和考虑，法律上尊重并保护这种自愿放弃权利的行为。
- 从法律教育的角度，您可以借此机会教育孩子关于责任、宽容和解决冲突的方式，让孩子明白在面对类似情况时，如何以更成熟和理性的方式来处理。
建议：在表达感谢的同时，也可以与老师进一步沟通，了解如何更好地引导孩子处理类似的人际冲突，以及如何在日常生活中培养孩子的责任感和宽容心。如果您在后续过程中遇到任何与教育机构侵权或其他法律相关的问题，欢迎直接向我咨询，我将为您提供专业的法律建议。