结论前置：公司未依法出具离职证明给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。赔偿金额需根据劳动者的实际损失来确定，并且劳动者需要提供充分证据以证明损失与用人单位未开具离职证明之间的因果关系。
详细分析：
一、赔偿范围及计算依据
无法及时入职新单位的损失：
- 劳动者若因缺少离职证明而无法被新单位录用，从而错失工资收入，这部分损失是可以要求用人单位赔偿的。
- 赔偿金额计算：通常按照劳动者错过的新单位录用岗位的工资标准，结合耽误的入职时间来计算。例如，若劳动者因无离职证明错过月薪10000元的岗位，且耽误入职2个月，则赔偿金额可能为20000元（10000元/月 × 2月）。
失业保险待遇损失：
- 若因用人单位未出具离职证明，导致劳动者不能及时办理失业登记，进而无法领取失业保险金，这部分失业保险金也是可以要求用人单位赔偿的。
- 赔偿金额计算：一般为劳动者本应领取的失业保险金数额，与当地失业保险金领取标准和应领取期限挂钩。例如，若当地失业保险金每月标准为1500元，劳动者本应领取3个月，则赔偿金额为4500元（1500元/月 × 3月）。
其他直接经济损失：
- 包括劳动者因补办离职证明而产生的交通费、住宿费等直接费用，以及因未出具离职证明而导致的其他直接经济损失。
- 赔偿金额计算：根据实际产生的费用和相关证据来确定。
二、索赔流程
与公司协商：
- 劳动者首先可以尝试与原公司沟通，要求出具离职证明并赔偿损失。
- 保留沟通证据，如邮件、聊天记录等，以备后续维权之需。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，劳动者可以向劳动监察部门投诉，请求责令公司改正并出具证明。
- 提供劳动合同、工资记录等相关证据，以支持投诉请求。
申请劳动仲裁：
- 若劳动监察部门处理未能解决问题，或劳动者希望直接仲裁，可以向劳动争议仲裁委员会提出申请。
- 提交仲裁申请书、身份证明及相关证据材料，如新单位录用通知、拒绝录用说明等。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不满时，劳动者可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。
三、劳动者的举证责任
为成功索赔，劳动者需承担以下举证责任：
劳动关系及离职事实：
- 提供劳动合同、工资发放记录、工作证等证据，以证明劳动关系存在及离职事实。
公司未出具离职证明：
- 展示与公司沟通要求离职证明的记录，如邮件、短信等，以证明公司未履行出具离职证明的义务。
损失的存在及因果关系：
- 提供新单位录用通知、拒绝录用说明、失业保险金相关证明等，以证实损失及其与公司未出具离职证明的直接关联。
四、建议与总结
- 用人单位：在解除或终止劳动合同时，应及时、规范地出具离职证明并办理相关手续，以避免不必要的法律纠纷。
- 劳动者：应了解自己的权益，主动要求用人单位出具离职证明，并妥善保管好相关证据。若因公司未出具离职证明而遭受损失，应积极通过协商、投诉、仲裁及诉讼等途径维护自身权益。
综上所述，公司未出具离职证明且给劳动者造成损害时，劳动者有权要求公司承担赔偿责任，并通过多种途径维护自己的合法权益。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。