当私人老板只有一个员工受伤时，处理方式主要取决于双方构成的雇佣关系类型，即劳动关系还是劳务关系。以下是根据不同情况给出的详细解答：
一、若构成劳动关系
及时送医并支付费用：
- 私人老板（用人单位）应第一时间将受伤员工送往医院救治，并支付相关的医疗费用，确保员工能够得到及时有效的治疗。
申请工伤认定：
- 用人单位需要在事故伤害发生之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 若因特殊情况无法按时申请，经社会保险行政部门同意后，申请时限可适当延长。
- 若用人单位未按规定申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故发生之日起1年内自行提出认定申请。
承担工伤保险责任：
- 一旦工伤认定成立，用人单位需按照工伤保险的相关规定，承担员工的工伤待遇，包括但不限于医疗费、康复费、伤残津贴等。
二、若构成劳务关系
明确双方过错：
- 根据《民法典》的规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，需根据双方各自的过错承担相应责任。
- 例如，若老板提供的工作环境不安全（如地面湿滑未设置警示标识、未提供必要防护设备等），则需承担相应赔偿责任。
- 若员工自身存在过错（如违规操作机器、擅自更改操作流程等），则老板的赔偿责任会相应减轻。
确定赔偿范围：
- 赔偿范围一般包含医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费等。
- 如果员工因伤造成残疾，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
- 若不幸死亡，则要赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
赔偿协商与起诉：
- 双方可以先就赔偿事宜进行协商，尝试达成和解。
- 若协商不成，员工可以收集相关证据（如能证明劳务关系的劳动合同、工资发放记录，证明受伤事实的医院诊断证明，以及证明损失的费用票据等），向法院起诉，要求老板承担相应赔偿责任。
三、通用建议
- 保留证据：无论构成劳动关系还是劳务关系，员工在整个过程中都应注意保留好相关证据，如劳动合同、医疗诊断证明、事故现场证人证言等。这些证据有助于维护自身合法权益。
- 及时咨询专业人士：在处理此类纠纷时，建议及时咨询律师或相关法律专业人士，以获取更具体、更专业的法律建议。
综上所述，当私人老板只有一个员工受伤时，处理方式需根据双方构成的雇佣关系类型来确定。无论是劳动关系还是劳务关系，都应遵循相关法律法规，确保受伤员工的合法权益得到保障。