被盗刷欠款，警察会管，因为这属于刑事案件，公安机关有责任立案侦查。

一. 盗刷欠款属于刑事案件

1. 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。被盗刷欠款的行为，实质上就是盗窃行为，且通常涉及的金额较大，因此属于刑事案件范畴。
2. 实例说明：比如，你的银行卡被盗刷，这就相当于有人未经你的允许，偷偷拿走了你的钱。这种行为不仅违反了法律，而且对你造成了经济损失。你报警后，警察会依法进行调查，追查犯罪嫌疑人，并尽力挽回你的损失。

二. 报警后的处理流程

1. 报警：你发现被盗刷后，应立即报警，并向警方提供尽可能详细的信息，如盗刷时间、地点、金额、交易记录等。
2. 立案侦查：警方接到报警后，会进行立案侦查，包括调查交易记录、监控录像、询问相关人员等，以收集证据，确定犯罪嫌疑人。
3. 法律程序：一旦找到犯罪嫌疑人，警方会依法将其抓获，并移交给检察机关进行审查起诉。最终，法院会根据犯罪事实和法律规定，对犯罪嫌疑人作出判决。

三. 我的建议

1. 及时报警：被盗刷后，第一时间报警是非常重要的。这不仅有助于警方及时展开调查，还能增加追回损失的可能性。
2. 保留证据：在报警之前，尽量保留好所有与盗刷相关的证据，如交易记录、短信通知、聊天记录等。这些证据将对警方的调查起到关键作用。
3. 配合调查：在警方调查过程中，你应积极配合，提供所需的信息和资料。同时，也要保持耐心和信心，相信警方能够依法处理此事。

综上所述，被盗刷欠款后，警察会管，并且会依法进行立案侦查。你应及时报警，保留证据，并配合警方的调查工作。如有进一步需要，您可以继续咨询我。