核心结论：针对您描述的“人在家中被人闯入殴打并威胁，几个月后报案”的情况，警方会依法启动调查程序，具体处理方式需结合证据收集、案件性质及法律适用综合判断。以下是分情况说明：

1. 警方立案与调查程序

• 接警与初步审查：警方接到报案后，会首先核实报案内容（如时间、地点、伤害情况、威胁内容等），并要求您提供相关证据（如现场照片、视频、医疗记录、证人联系方式等）。若初步判断符合刑事案件立案标准（如涉嫌非法侵入住宅罪、故意伤害罪或寻衅滋事罪），会正式立案。
• 证据收集：警方会调取现场监控、询问目击者、委托伤情鉴定（若您有外伤），并可能对嫌疑人进行传唤或抓捕。若案件间隔数月，证据可能因时间推移而灭失（如监控覆盖、证人记忆模糊），需尽快向警方提供线索以协助调查。
• 法律适用：根据《刑法》第245条（非法侵入住宅罪）、第234条（故意伤害罪）或第293条（寻衅滋事罪），若嫌疑人行为构成犯罪，警方将依法追究其刑事责任；若情节较轻，可能按《治安管理处罚法》第40条（非法侵入他人住宅）或第43条（殴打他人）处以行政处罚。

2. 报案时间间隔的影响

• 时效性限制：刑事案件无明确报案时效限制，但证据保存是关键。若您能提供足够证据证明嫌疑人行为（如伤情鉴定、威胁记录、证人证言），警方仍会依法处理；若证据不足，可能影响案件定性。
• 警方处理优先级：因案件间隔较长，警方可能优先处理更紧急的案件，但您仍可通过持续跟进、补充证据等方式推动调查进展。

3. 您的权利与注意事项

• 配合调查义务：您需如实向警方陈述事实，不得隐瞒或伪造证据。若拒绝配合，可能影响案件处理。
• 伤情鉴定重要性：若您在事件中受伤，应尽快进行伤情鉴定（如轻伤、轻微伤），这直接影响案件是否构成刑事犯罪。
• 威胁行为的定性：若嫌疑人威胁内容涉及“伤害您或家人”“破坏财产”等，可能构成敲诈勒索或威胁他人安全，需向警方明确说明。

4. 后续法律程序

• 刑事案件流程：若立案，案件将进入侦查、审查起诉、审判阶段。您可能作为被害人参与诉讼，有权委托律师介入。
• 民事赔偿请求：若嫌疑人被定罪，您可同时提起刑事附带民事诉讼，要求赔偿医疗费、误工费等损失。

建议：

1. 立即整理所有相关证据（如医疗记录、现场照片、威胁记录、证人联系方式），尽快向警方补充提交；
   
2. 若警方未及时立案，可要求其出具《不予立案通知书》，并向上一级公安机关申请复议；
   
3. 如有需要，可随时向我咨询具体法律程序或证据固定问题。
   

（如有进一步细节需补充，请直接说明，我会为您详细分析。）