在民事诉讼中，当检察院对法院的判决或裁定提出抗诉时，法院会遵循一套严格的法定程序来处理这一情况，以确保案件的公正、公平与合法性。以下是法院处理检察院抗诉案件的具体流程：

一、抗诉的受理阶段

1. 形式与实质审查： 法院在收到检察院的抗诉书后，会首先进行形式审查，确认抗诉书是否符合法定格式和要求。随后，进行实质性审查，评估抗诉理由是否充分，是否有新的证据或原判决、裁定是否存在明显错误。

2. 立案处理： 若抗诉符合法定条件，法院将接受抗诉并正式立案处理。此时，法院会向双方当事人送达抗诉书副本，告知他们抗诉的情况及案件已进入再审程序。

二、再审审理阶段

1. 组成合议庭： 为确保审判的公正性和独立性，法院会在立案后的三十日内另行组成合议庭对案件进行再审。合议庭成员通常与原审判人员不同，以避免先入为主的偏见。

2. 开庭审理与全面审查：

   • 再审案件一般会按照法定程序开庭审理，包括法庭调查、法庭辩论等环节。在法庭调查阶段，双方当事人可以就抗诉所涉及的事实和证据进行陈述、举证、质证。
   • 合议庭将对案件的事实和证据进行全面审查，这包括查阅原审卷宗、听取双方当事人的陈述和辩论、调查核实相关证据等。根据《民事诉讼法》的规定，法院还有权根据需要决定是否调查收集新的证据。

3. 检察院派员出席： 在再审过程中，检察院应当派员出席法庭，参与诉讼过程。这有助于法院更全面地了解抗诉的事实和理由，确保审判的公正性。

三、再审裁判阶段

1. 维持原判： 如果经过再审审理，法院认为原判决、裁定认定事实清楚，适用法律正确，抗诉理由不成立的，将作出维持原判决、裁定的裁判。

2. 依法改判： 若再审中发现原判决、裁定认定事实错误或者适用法律错误的，法院将在查清事实后依法改判。这包括但不限于原审对关键证据的认定有误或法律适用上的明显错误。

3. 发回重审： 存在以下情形之一的，法院将裁定撤销原判决，发回原审人民法院重审：

   • 原判决认定基本事实不清，这些基本事实对原判决、裁定的结果有实质性影响；
   • 原判决遗漏当事人或者违法缺席判决等严重违反法定程序的情形。

四、裁判文书的送达与执行

• 送达裁判文书： 法院在作出新的判决或裁定后，会将裁判文书及时送达给双方当事人以及提出抗诉的检察院，确保各方及时了解裁判结果。

• 执行： 新的判决或裁定生效后，当事人应依法履行相应的法律义务。如未按时履行，法院有权采取多种强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以确保判决或裁定的有效执行。

综上所述，当检察院在民事诉讼中提出抗诉时，法院会遵循严格的法定程序进行受理、再审和裁判。这一过程中，法院将充分保障当事人的诉讼权利，对案件事实和证据进行全面审查，并最终依法作出公正的裁判。