关于您提到的“爸爸是第一监护人但是忙，留妈妈号码可以吗”这个问题，其实它并不直接涉及到上面提供的参考信息中的具体场景（如罪犯亲情电话管理或育儿补贴申领），但我们可以从监护人的职责和联系方式变更的角度来解答。
首先，明确一点：监护人的职责是保护被监护人的权益，包括但不限于生活照料、教育、医疗决策等。在大多数情况下，父母是未成年子女的法定监护人，且通常会有一个主要的或第一监护人，但这并不意味着另一个监护人（如妈妈）就不能参与或负责相关事务。
针对您的问题，如果爸爸作为第一监护人因为工作或其他原因确实很忙，无法及时履行某些监护职责或接收相关信息，那么留下妈妈的联系方式是完全可行的。这样做可以确保在需要时，相关机构或人员能够及时联系到监护人之一，以保障被监护人的权益。
具体操作上，您可以：
与相关机构沟通：比如学校、医院或任何需要您提供监护人联系方式的机构，说明爸爸的情况，并请求留下妈妈的联系方式作为备用或主要联系方式。
更新联系方式：如果之前已经登记了爸爸的联系方式，但现在需要变更或增加妈妈的联系方式，您可以按照相关机构的要求，填写变更申请表或提供其他必要的证明文件。
确保信息准确：无论留下谁的联系方式，都请确保信息的准确性，以便在需要时能够及时联系到监护人。
总之，留下妈妈的联系方式作为监护人的联系方式之一是完全合理的，也是为了确保被监护人在需要时能够得到及时的照顾和保护。希望这个解答能够帮到您！