在事业单位工作满九年且合同一年一签的情况下，员工主要享有以下权益和可能面临的情况：

1. 无固定期限劳动合同的签订权：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。在事业单位工作满九年，且合同一年一签的情况下，如果已经连续签订了两次或以上的固定期限劳动合同，那么在续订时，员工有权要求签订无固定期限劳动合同。

2. 经济补偿或赔偿的权益：

   • 如果事业单位在员工工作满九年后，选择不续签劳动合同或者违法解除劳动合同，那么员工有权要求事业单位支付经济补偿或赔偿。经济补偿的标准通常是根据员工在事业单位的工作年限和月工资来确定的。
   • 具体来说，如果是因为合同到期不续签或者单位提出解除合同且双方协商一致，单位通常需要支付经济补偿金，计算方式为工作年限乘以月工资（月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按三倍计算，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。
   • 如果单位是违法解除劳动合同，那么员工有权要求单位支付赔偿金，赔偿金通常是经济补偿金的两倍。

3. 工龄连续计算的权益：

   • 在事业单位工作满九年，无论合同是如何签订的，员工的工龄都是连续计算的。这对于员工的退休金、年假、病假等权益都有重要影响。

4. 注意事项与建议：

   • 员工应保留好与事业单位签订的劳动合同、工资单、工作证等证据，以备不时之需。
   • 如果事业单位在续签劳动合同时提出不合理的条件或者拒绝续签，员工应及时向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
   • 在与事业单位协商或者处理劳动纠纷时，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为。

针对您的情况，我建议您：

• 首先确认自己是否已经连续签订了两次或以上的固定期限劳动合同，如果是，那么在续订时可以要求签订无固定期限劳动合同。
• 如果事业单位选择不续签或者违法解除劳动合同，及时收集证据并咨询专业律师，以便更好地维护自己的权益。
• 在整个过程中，保持与事业单位的沟通，尽量通过协商解决问题，如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。

如果您在事业单位工作满九年且合同一年一签的情况下遇到了任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。