您有权要求用人单位补开教龄证明。针对您的情况，我将从法律背景、具体建议和可能后果三个角度进行分析。
法律背景
劳动关系确认：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，劳动者就享有相应的权益。您在农村公办小学临时代课多年，若能提供如工资发放记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据，可以证明您与学校之间存在事实劳动关系。
教龄证明的性质：
- 教龄证明是证明您在学校工作年限的重要文件，对于您未来的职业发展（如职称评定、薪资调整等）具有重要意义。学校作为用人单位，有义务为您出具这样的证明。
具体建议
与学校协商：
- 首先，您可以尝试与学校进行友好协商，说明您的情况和需求，请求学校为您补开教龄证明。在协商过程中，您可以提供上述提到的证据材料，以证明您与学校之间存在事实劳动关系。
向教育主管部门投诉：
- 如果学校拒绝为您补开教龄证明，您可以向当地的教育主管部门（如教育局）进行投诉。教育主管部门有责任监督学校遵守相关法律法规，保障劳动者的合法权益。在投诉时，您需要提供详细的证据材料，以支持您的诉求。
寻求法律援助：
- 如果上述途径均无法解决问题，您可以考虑寻求法律援助。您可以咨询专业律师（比如我，李佳丽律师，就擅长处理合同纠纷和劳动工伤问题），了解您的法律权益和可能的维权途径。在必要时，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼。
可能后果
学校积极配合：
- 如果学校认识到其义务并积极配合，那么您将能够顺利获得教龄证明，从而保障您的合法权益。
学校拒绝配合：
- 如果学校拒绝配合，您可能需要通过投诉、仲裁或诉讼等途径来维护自己的权益。虽然这些途径可能需要一定的时间和精力，但只要您能够提供充分的证据材料，您的诉求通常能够得到支持。
对学校的影响：
- 如果学校被证实存在违法行为（如拒绝为劳动者出具证明文件），那么学校可能会面临行政处罚或民事赔偿等法律后果。这将对学校的声誉和运营产生不利影响。
温馨提示：在维权过程中，请务必保留好所有相关证据材料，并遵循法律程序进行操作。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。