关于子女申请老人监护权的流程，这主要涉及到我国《民法典》中关于监护权的相关规定。以下是一个清晰、详细且有一定深度的解答：

首先，我们需要明确的是，根据《民法典》的规定，如果老人在丧失民事行为能力前已经意定了监护人，那么在其丧失或部分丧失民事行为能力时，将由该意定监护人履行监护职责。这是意定监护的情况。

若老人没有意定监护人，那么监护权的确定将遵循法定监护的顺序。根据《民法典》第二十八条，无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人的监护人，首先由配偶担任；若配偶无法担任，则由父母、子女按顺序担任；若父母、子女也无法担任，则由其他近亲属担任；若其他近亲属同样无法担任，那么其他愿意担任监护人的个人或者组织，在经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意后，也可以担任监护人。

在子女申请成为老人监护人的过程中，如果存在监护争议，即多个有监护资格的人对监护人的确定有异议，那么根据《民法典》第三十一条，将由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人。如果有关当事人对指定不服，他们可以向人民法院申请指定监护人；当然，有关当事人也可以直接向人民法院申请指定监护人。在这个过程中，居民委员会、村民委员会、民政部门或者人民法院应当尊重被监护人的真实意愿，并按照最有利于被监护人的原则在依法具有监护资格的人中指定监护人。

此外，如果在指定监护人前，被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益处于无人保护状态，那么由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会、法律规定的有关组织或者民政部门担任临时监护人，以确保被监护人的权益不受侵害。

最后，需要强调的是，一旦监护人被指定，就不得擅自变更。如果擅自变更监护人，不免除被指定的监护人的责任。

综上所述，子女申请老人监护权的流程主要涉及到意定监护、法定监护以及监护争议的解决程序。在申请过程中，应尊重被监护人的真实意愿，并按照最有利于被监护人的原则进行。希望这个解答能对您有所帮助。