您好，关于刑事案件法律援助的最迟提出时间，这实际上取决于案件所处的具体阶段以及申请人的身份。以下是我为您详细梳理的信息：
一、犯罪嫌疑人、被告人的申请时间
对于犯罪嫌疑人、被告人而言，他们可以在刑事诉讼的多个阶段提出法律援助申请，具体包括：
侦查阶段：在案件被公安机关立案侦查后，犯罪嫌疑人如果因经济困难或其他原因没有委托辩护人，可以向法律援助机构申请法律援助。
审查起诉阶段：案件移送至人民检察院审查起诉时，犯罪嫌疑人或被告人同样可以申请法律援助。
审判阶段：在案件进入人民法院审判阶段后，被告人如果未委托辩护人，也有权申请法律援助。
强制医疗程序：如果案件涉及强制医疗程序，相关当事人也可以提出法律援助申请。
特别说明：对于可能被判处死刑的被告人，或者被告人是盲、聋、哑人、未成年人等特殊情况，法律援助机构应当提供法律援助，且无需对被告人进行经济状况的审查。
二、公诉案件被害人及其法定代理人或近亲属的申请时间
对于公诉案件的被害人及其法定代理人或近亲属，他们申请法律援助的时间是从案件移送审查起诉之日起。这意味着，在案件由公安机关侦查完毕并移送至人民检察院审查起诉后，他们才有权提出法律援助申请。
三、自诉案件自诉人及其法定代理人的申请时间
对于自诉案件的自诉人及其法定代理人，他们申请法律援助的时间是从案件被人民法院受理之日起。即，在自诉人向人民法院提起诉讼并获得受理后，他们才有权申请法律援助。
四、申请流程与注意事项
申请流程：申请人需要向办案机关所在地的法律援助机构提出申请，并提交相关证明材料，如经济困难证明等。法律援助机构在收到申请后，会进行审查，并在一定期限内作出是否给予法律援助的决定。
注意事项：申请人应确保提交的申请材料真实、完整，并按照法律援助机构的要求进行补充或说明。如果申请人未按要求补充材料或作出说明，可能会被视为撤回申请。
综上所述，刑事案件法律援助的最迟提出时间并不是一个固定的时间点，而是取决于案件所处的具体阶段以及申请人的身份。因此，建议您在案件进入相应阶段后，及时向法律援助机构提出申请，以确保您的合法权益得到保障。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。