刑事诈骗案当事人应将立案监督申请交给作出立案或不立案决定的公安机关的同级人民检察院。以下是详细解释：

一、立案监督申请的定义与目的

刑事立案监督，是指对公安机关不立案决定、立案决定不服或者认为公安机关未在规定期限内作出是否立案决定，向人民检察院提出监督申请或者建议的案件。这是检察机关行使法律监督权的重要方式，旨在确保公安机关的立案活动合法、公正。

二、申请立案监督的主体与材料

1. 申请主体：包括当事人、被害人及其法定代理人、近亲属等。
2. 申请材料：
   • 刑事立案监督申请书；
   • 身份证明（委托代理证明）；
   • 相关法律文书（如公安机关作出的立案决定书、不予立案通知书、复议决定书、复核决定书等）；
   • 证据材料。

三、申请立案监督的受理机关

根据相关规定，刑事立案监督申请应由作出立案决定、不立案决定或者未在规定期限内作出是否立案决定的公安机关的同级人民检察院管辖。这意味着，如果公安机关作出了不立案决定，当事人应向该公安机关的同级人民检察院提出监督申请。如果公安机关作出不立案决定后经复议、复核维持的，仍由作出不立案决定的公安机关的同级人民检察院管辖。

四、申请立案监督的注意事项

1. 申请时机：在公安机关作出不立案决定或未在规定期限内作出是否立案决定后，当事人可以及时提出监督申请。
2. 避免重复申请：如果申请人已向公安机关申请复议、复核，应等待决定作出后仍不服的，再向检察院提出监督申请。
3. 新证据的处理：如果申请人以有新证据为由提出监督申请，但公安机关作出不予采纳新证据决定的，再向检察院提出监督申请。

五、检察院的处理流程

人民检察院控告申诉检察部门接收申请材料后，应当在七日以内告知申请人是否受理。对受理的刑事立案监督案件进行审查，并根据案件实际情况及时作出处理结论，最迟不得超过三个月。

举例说明：假设某刑事诈骗案中，公安机关作出了不立案决定。当事人认为该决定有误，应准备相关申请材料，包括刑事立案监督申请书、身份证明、不予立案通知书复印件等，然后向作出不立案决定的公安机关的同级人民检察院提出监督申请。

在处理此类案件时，务必确保申请材料的完整性和准确性，并遵循法定程序。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。