居家客服是否构成劳动关系，需根据具体情况来判断。以下是从不同角度进行的分析：
存在事实劳动关系的情况：
- 如果居家客服按照公司的安排提供劳动，接受公司的管理，并从公司领取劳动报酬，那么这种关系就构成了事实劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。因此，在这种情况下，居家客服与公司之间构成劳动关系，公司应当与居家客服签订书面劳动合同。
不存在劳动关系的情况：
- 如果居家客服只是以个人名义提供服务，不接受公司的管理，也不从公司领取固定的劳动报酬，而是按照完成的任务或提供的服务量来获取报酬，那么这种关系可能不构成劳动关系。例如，某些平台上的自由职业者或兼职者，他们可能只是通过平台接取任务，与平台之间并不构成劳动关系。
法律建议：
- 对于居家客服而言，如果认为自己与公司之间构成劳动关系，但公司未与其签订书面劳动合同，可以与公司进行沟通，要求签订书面劳动合同以明确双方的权利和义务。如果公司拒绝签订，居家客服可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 对于公司而言，如果与居家客服之间构成劳动关系，应当及时与其签订书面劳动合同，以避免因未签订劳动合同而引发的法律纠纷和处罚。
可能面临的法律后果：
- 如果公司未与构成劳动关系的居家客服签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司可能需要向居家客服支付双倍的工资作为赔偿。此外，如果公司长期不与劳动者签订书面劳动合同，还可能被视为与劳动者已订立无固定期限劳动合同，这将对公司的人力资源管理带来更大的挑战。
综上所述，居家客服是否构成劳动关系需根据具体情况来判断。如果构成劳动关系，公司应当与居家客服签订书面劳动合同；如果不构成劳动关系，双方也应当通过合同或其他方式明确各自的权利和义务，以避免因关系不明确而引发的法律纠纷。如果有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。