可以起诉鉴定机构，当其出具不予鉴定通知书且该行为损害当事人合法权益时。以下从不同角度为您详细分析：

鉴定机构行为违法或违规时

如果鉴定机构出具不予鉴定通知书的行为违反了法定程序，例如未按照规定的步骤和要求进行鉴定前的审查、未给予当事人合理的陈述和申辩机会等，或者存在故意不作为、拖延鉴定等违规情形，给当事人的权益带来了损害，那么当事人是有权向有管辖权的法院提起诉讼的。

在起诉过程中，您需要明确自己的诉讼请求。比如，您可以请求法院撤销该不予鉴定通知书，要求鉴定机构重新进行鉴定；或者要求鉴定机构赔偿因不予鉴定而给您造成的经济损失、时间成本等方面的损失。同时，您要提供相关的证据来证明鉴定机构的过错，像鉴定过程中出现的违规记录、与鉴定机构的沟通记录等，这些可以直观地证明鉴定机构的行为存在问题；还有因不予鉴定而实际遭受的损失情况，比如因无法及时获得鉴定结果而导致的合同违约赔偿、诉讼时效过期等损失的具体数据。法院会依据相关的法律法规以及您所提供的证据进行严格的审查判断。如果认定鉴定机构确实存在过错，就会依法作出公正的裁决，从而有效地维护您的合法权益。

鉴定机构无过错时

然而，如果鉴定机构出具不予鉴定通知书是基于合理的理由，例如您提供的鉴定材料不完整、不符合鉴定要求，或者鉴定事项超出了该鉴定机构的业务范围、技术能力等，且鉴定机构已经按照规定向您说明了不予鉴定的理由，那么在这种情况下，鉴定机构的行为可能是合法合规的，您起诉鉴定机构可能难以得到法院的支持。但这并不意味着您就完全没有办法，您可以根据鉴定机构指出的问题，补充完善相关材料或者寻找有相应能力的鉴定机构重新申请鉴定。

法律依据

虽然具体的法律条文可能没有直接提及“可以起诉出具不予鉴定通知书的鉴定机构”，但根据《中华人民共和国民事诉讼法》等相关法律法规，当您的合法权益受到侵害时，您有权通过法律途径来维护自己的权益。司法鉴定机构作为提供专业鉴定服务的机构，其行为也应当受到法律的约束和监督。如果其行为违反了法律规定或者合同约定，给您造成了损害，那么您就可以依据相关法律来追究其责任。

在实际操作中，起诉鉴定机构可能会面临一些挑战，比如证据的收集和固定、鉴定机构过错程度的认定等。因此，如果您打算起诉鉴定机构，建议您在起诉前咨询专业的律师，律师可以根据您的具体情况，为您提供详细的法律分析和诉讼策略，帮助您更好地维护自己的权益。如果您有合同纠纷等相关法律问题，都可以直接向我咨询。